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5 Cin´ etique chimique
Cette erreur, commise sp´ ecifiquement sur le pas de temps [t n ,t n+1 ], est appel´ ee erreur locale de troncature au temps t n , et est mesur´ ee par la notion
de pr´ ecision du sch´ ema. En particulier, le sch´ ema sera dit consistant si cette
erreur d´ ecroit strictement plus vite que h, en un sens que nous pr´ eciserons
plus loin.
Quant `
a la seconde erreur, elle n’est pas locale, mais globale. Elle a comme
origine l’accumulation des erreurs locales de troncature `
atouslespasdetemps
pr´ ec´ edents. Cette erreur peut ˆ etre contrˆ ol´ ee par une notion dite de stabilit´ e.
Si on arrive `
ac o n s t r u i r eu ns c h ´ ema permettant de maˆ ıtriser `
al af o i sl e
premier type d’erreur et le second, il y a toutes les chances que ce sch´ ema
fournisse une approximation convergente. Nous verrons que c’est effectivement
le cas ` a l’Exercice 5.11 (pour l’exemple des sch´ emas ` au np a s ) .
t
y 0
y
solution exacte y(t)
ε n
t n+1
t n
e n
solution numérique y n
Fig. 5.1. L’erreur de troncature εn et l’erreur globale en.
Dans le cadre du sch´ ema (5.5), l’erreur de troncature s’´ ecrit
ε n = y(t n+1 ) −
y(t n )+h n f (t n ,y(t n ))
=
tn+1
tn
(y
′ (t) − y
′ (t n )) dt (5.7)
et peut donc ˆ etre contrˆ ol´ ee, d` es que la solution exacte y est de classe C
2 (ce
qui est le cas d` es que la fonction f est C
1 )p a r
|ε n |≤h n
tn+1
tn
|y
′′ (t)| dt,
(5.8)
ce qui montre en particulier que la m´ ethode est donc consistante. On contrˆ ole
alors l’accumulation des erreurs en examinant l’erreur e n+1 ,qu’ond ´ ecompose