5.2 Notions rapides d’analyse num´ erique des EDO
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5.2.1 G´ en´ eralit´ es et sch´ ema d’Euler explicite
Nous supposons que le probl` eme de Cauchy (5.2) admet une unique solution
sur un intervalle [0,T]( T fini), ce qui va en particulier ˆ etre assur´ ep a rl a
condition de Lipschitz suivante : on suppose que la fonction f est continue
sur I × IR
m et de plus qu’il existe un r´ eel L (dit constante de Lipschitz de la
fonction f )t e lq u e
∀t ∈ I, ∀y, z ∈ IR
m ,
|f (t, y) − f (t, z)|≤L|y − z|.
(5.3)
Une variante de (5.3) est : il existe une fonction l ∈ L
1 (I) telle que
∀t ∈ I, ∀y, z ∈ IR
m ,
(f (t, y) − f (t, z),y− z) ≤ l(t)|y − z|
2 .
(5.4)
Pour simplifier, nous supposons d´ esormais que y est ` av aleursr ´ eelles (m =1),
sauf mention explicite du contraire.
Pour r´ esoudre num´ eriquement (5.2), la m´ ethode naturelle est de d´ ecouper
l’intervalle [0,T]enN intervalles, de longueurs non n´ ecessairement identiques
0=t 0
y n+1 = y n + h n f (t n ,y n ), 0 ≤ n ≤ N − 1
(5.5)
avec la donn´ ee initiale y 0 figurant dans (5.2).
L’objectif de l’analyse num´ erique in fine est de savoir ` aq u e lp o i n tl as o -
lution num´ erique y n (0 ≤ n ≤ N ) sera une approximation convenable de
la solution exacte y(t)p r i s ea u xi n s t a n t st 0 ,t 1 , ..., t N correspondants. Nous
d´ efinissons donc l’erreur au temps t n par
e n = y(t n ) − y n .
(5.6)
Le sch´ ema d´ efinit une approximation num´ erique convergente (voir la D´ efinition 5.10 plus loin) si lim
h−→ 0
max 0≤n≤N |e n | =0.
A l’instant t n+1 , l’erreur e n+1 , qui repr´ esente la diff´ erence entre la solution
exacte y(t n+1 ) et la solution approch´ ee y n+1 ,peutˆ etre d´ ecompos´ ee de la fa¸ con
suivante :
• l’erreur qui vient juste d’ˆ etre faite sur le pas de temps [t n ,t n+1 ]
• et l’erreur qui venait de tous les pas de temps ant´ erieurs.
Pour quantifier la premi` ere erreur, on peut imaginer la situation o` uo na u r a i t
calcul´ ed ef a ¸ con parfaite jusqu’` a l’instant t n : on aurait donc la valeur exacte
y(t n )` a l’instant t n .E ni n s ´ erant cette valeur dans le sch´ ema num´ erique, on
ferait, sur le pas de temps [t n ,t n+1 ], une erreur li´ ee seulement au sch´ ema
num´ erique lui-mˆ eme qui serait
ε n = y(t n+1 ) −
y(t n )+h n f (t n ,y(t n ))
.
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5.2.1 G´ en´ eralit´ es et sch´ ema d’Euler explicite
Nous supposons que le probl` eme de Cauchy (5.2) admet une unique solution
sur un intervalle [0,T]( T fini), ce qui va en particulier ˆ etre assur´ ep a rl a
condition de Lipschitz suivante : on suppose que la fonction f est continue
sur I × IR
m et de plus qu’il existe un r´ eel L (dit constante de Lipschitz de la
fonction f )t e lq u e
∀t ∈ I, ∀y, z ∈ IR
m ,
|f (t, y) − f (t, z)|≤L|y − z|.
(5.3)
Une variante de (5.3) est : il existe une fonction l ∈ L
1 (I) telle que
∀t ∈ I, ∀y, z ∈ IR
m ,
(f (t, y) − f (t, z),y− z) ≤ l(t)|y − z|
2 .
(5.4)
Pour simplifier, nous supposons d´ esormais que y est ` av aleursr ´ eelles (m =1),
sauf mention explicite du contraire.
Pour r´ esoudre num´ eriquement (5.2), la m´ ethode naturelle est de d´ ecouper
l’intervalle [0,T]enN intervalles, de longueurs non n´ ecessairement identiques
0=t 0
y n+1 = y n + h n f (t n ,y n ), 0 ≤ n ≤ N − 1
(5.5)
avec la donn´ ee initiale y 0 figurant dans (5.2).
L’objectif de l’analyse num´ erique in fine est de savoir ` aq u e lp o i n tl as o -
lution num´ erique y n (0 ≤ n ≤ N ) sera une approximation convenable de
la solution exacte y(t)p r i s ea u xi n s t a n t st 0 ,t 1 , ..., t N correspondants. Nous
d´ efinissons donc l’erreur au temps t n par
e n = y(t n ) − y n .
(5.6)
Le sch´ ema d´ efinit une approximation num´ erique convergente (voir la D´ efinition 5.10 plus loin) si lim
h−→ 0
max 0≤n≤N |e n | =0.
A l’instant t n+1 , l’erreur e n+1 , qui repr´ esente la diff´ erence entre la solution
exacte y(t n+1 ) et la solution approch´ ee y n+1 ,peutˆ etre d´ ecompos´ ee de la fa¸ con
suivante :
• l’erreur qui vient juste d’ˆ etre faite sur le pas de temps [t n ,t n+1 ]
• et l’erreur qui venait de tous les pas de temps ant´ erieurs.
Pour quantifier la premi` ere erreur, on peut imaginer la situation o` uo na u r a i t
calcul´ ed ef a ¸ con parfaite jusqu’` a l’instant t n : on aurait donc la valeur exacte
y(t n )` a l’instant t n .E ni n s ´ erant cette valeur dans le sch´ ema num´ erique, on
ferait, sur le pas de temps [t n ,t n+1 ], une erreur li´ ee seulement au sch´ ema
num´ erique lui-mˆ eme qui serait
ε n = y(t n+1 ) −
y(t n )+h n f (t n ,y(t n ))
.