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5 Cin´ etique chimique
dy i
dt
=
Nr
i=1
k r (ν
+
ir − ν
−
ir )
Ne
j=1
y
ν
−
jr
j .
Si pour simplifier on ne prend par exemple que trois esp` eces et trois r´ eactions
Y 3
k3
−→ Y 2
k2
−→ Y 1
k1
−→ Y 2 ,
on voit que le syst` eme s’´ ecrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dy 1
dt
= −k 1 y 1 +k 2 y 2
dy 2
dt
= k 1 y 1 −k 2 y 2 +k 3 y 3
dy 3
dt
=
−k 3 y 3
(5.1)
Pour certains triplets (k 1 ,k 2 ,k 3 )l es y s t ` eme diff´ erentiel ci-dessus va s’av´ erer
tr` es difficile ` a simuler, ceci se produisant d` es que les taux de r´ eaction k r
pr´ esentent des ordres de grandeur tr` es diff´ erents. Nous allons voir pourquoi,
et pr´ esenter des solutions. Signalons que les techniques que nous allons d´ ecrire
non seulement s’appliquent aux syst` emes lin´ eaires comme (5.1), mais aussi
s’adaptent `
a des syst` emes non lin´ eaires (pr´ esence de termes du type y 1 y 2 par
exempleaumembrededroitede(5.1)).Commen¸ cons par une introduction rapide `
a l’analyse num´ erique des m´ ethodes utilis´ ees pour simuler num´ eriquement
un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires comme (5.1). Comme d’habitude dans ce cours, on donne cette introduction dans le but de faciliter la
tˆ ache du lecteur, mais une telle introduction ne se substitue pas `
au nv r a i
cours centr´ e sur le sujet.
5.2 Notions rapides d’analyse num´ erique des EDO
Fixons un intervalle I de la droite r´ eelle de la forme [0,T]o `
u T>0v a u t
´ eventuellement +∞. On se donne y 0 ∈ IR
m et une fonction f d´ efinie sur
I × IR
m ` a valeurs dans IR
m , et on cherche ` a trouver une fonction y continue
et d´ erivable sur I,` a valeurs dans IR
m telle que,
y
′ = f (t, y(t))
pour tout t ∈ I,
y(t =0)=y 0 .
(5.2)
Ce probl` eme s’appelle un probl` eme de Cauchy.L av a l e u ry 0 est sa donn´ ee
initiale, aussi appel´ ee condition de Cauchy. Dans toute la suite, une fonction
y continue et d´ erivable sur I,` a valeurs dans IR
m ,q u iv ´ erifie (5.2) est dite
solution du probl` eme de Cauchy (5.2).
5 Cin´ etique chimique
dy i
dt
=
Nr
i=1
k r (ν
+
ir − ν
−
ir )
Ne
j=1
y
ν
−
jr
j .
Si pour simplifier on ne prend par exemple que trois esp` eces et trois r´ eactions
Y 3
k3
−→ Y 2
k2
−→ Y 1
k1
−→ Y 2 ,
on voit que le syst` eme s’´ ecrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dy 1
dt
= −k 1 y 1 +k 2 y 2
dy 2
dt
= k 1 y 1 −k 2 y 2 +k 3 y 3
dy 3
dt
=
−k 3 y 3
(5.1)
Pour certains triplets (k 1 ,k 2 ,k 3 )l es y s t ` eme diff´ erentiel ci-dessus va s’av´ erer
tr` es difficile ` a simuler, ceci se produisant d` es que les taux de r´ eaction k r
pr´ esentent des ordres de grandeur tr` es diff´ erents. Nous allons voir pourquoi,
et pr´ esenter des solutions. Signalons que les techniques que nous allons d´ ecrire
non seulement s’appliquent aux syst` emes lin´ eaires comme (5.1), mais aussi
s’adaptent `
a des syst` emes non lin´ eaires (pr´ esence de termes du type y 1 y 2 par
exempleaumembrededroitede(5.1)).Commen¸ cons par une introduction rapide `
a l’analyse num´ erique des m´ ethodes utilis´ ees pour simuler num´ eriquement
un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires comme (5.1). Comme d’habitude dans ce cours, on donne cette introduction dans le but de faciliter la
tˆ ache du lecteur, mais une telle introduction ne se substitue pas `
au nv r a i
cours centr´ e sur le sujet.
5.2 Notions rapides d’analyse num´ erique des EDO
Fixons un intervalle I de la droite r´ eelle de la forme [0,T]o `
u T>0v a u t
´ eventuellement +∞. On se donne y 0 ∈ IR
m et une fonction f d´ efinie sur
I × IR
m ` a valeurs dans IR
m , et on cherche ` a trouver une fonction y continue
et d´ erivable sur I,` a valeurs dans IR
m telle que,
y
′ = f (t, y(t))
pour tout t ∈ I,
y(t =0)=y 0 .
(5.2)
Ce probl` eme s’appelle un probl` eme de Cauchy.L av a l e u ry 0 est sa donn´ ee
initiale, aussi appel´ ee condition de Cauchy. Dans toute la suite, une fonction
y continue et d´ erivable sur I,` a valeurs dans IR
m ,q u iv ´ erifie (5.2) est dite
solution du probl` eme de Cauchy (5.2).