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Cin´ etique chimique
Nous allons voir dans ce dernier chapitre un exemple de syst` emes multi´ echelles
en temps,l e s´ equations de la cin´ etique chimique. Ces ´ equations d´ ecrivent
l’´ evolution des concentrations d’esp` eces chimiques dans un r´ eacteur chimique,
ou dans l’atmosph` ere par exemple. Elles font intervenir plusieurs ´ echelles
de temps, parfois diff´ erentes de plusieurs ordres de grandeur. Les simuler
num´ eriquement est donc particuli` erement difficile. On peut certes choisir un
pas de temps num´ erique de l’ordre de la plus petite des ´ echelles de temps,
mais alors on n’aura aucune chance de simuler le syst` eme sur un intervalle
de temps suffisamment grand pour voir ´ evoluer significativement les esp` eces
les plus lentes. On ne peut pas non plus choisir un pas de temps grand,
dans l’id´ ee d’atteindre une plus grande efficacit´ e, car alors il serait impossible de suivre l’´ evolution des petites ´ echelles de temps. Donc il faut trouver
une solution num´ erique adapt´ ee. Nous en pr´ esentons ici trois : l’adoption
de sch´ emas num´ eriques efficaces, la d´ ecomposition en sous-´ etapes adapt´ ees ` a
chaque ´ echelle de temps, et la r´ eduction du syst` eme qui consiste ` a´ eliminer
les ´ echelles de temps les plus courtes.
5.1 Mod´ elisation de la cin´ etique chimique
On consid` ere un syst` eme r´ eactif comportant N e esp` eces chimiques Y i ,d a n s
lequel N r r´ eactions peuvent avoir lieu. Ces r´ eactions s’´ ecrivent
Ne
i=1
ν
−
ir Y i
kr
−→
Ne
i=1
ν
+
ir Y i ,
o` u k r d´ esigneletauxder´ eaction de la r´ eaction r, les coefficients ν
−
ir et ν
+
ir ´ etant
les coefficients stoechiom´ etriques de l’esp` ece Y i comme r´ eactif et produit de la
r´ eaction r.L ’ ´ equation diff´ erentielle qui donne la variation de la concentration
y i de l’esp` ece Y i est donc :
Cin´ etique chimique
Nous allons voir dans ce dernier chapitre un exemple de syst` emes multi´ echelles
en temps,l e s´ equations de la cin´ etique chimique. Ces ´ equations d´ ecrivent
l’´ evolution des concentrations d’esp` eces chimiques dans un r´ eacteur chimique,
ou dans l’atmosph` ere par exemple. Elles font intervenir plusieurs ´ echelles
de temps, parfois diff´ erentes de plusieurs ordres de grandeur. Les simuler
num´ eriquement est donc particuli` erement difficile. On peut certes choisir un
pas de temps num´ erique de l’ordre de la plus petite des ´ echelles de temps,
mais alors on n’aura aucune chance de simuler le syst` eme sur un intervalle
de temps suffisamment grand pour voir ´ evoluer significativement les esp` eces
les plus lentes. On ne peut pas non plus choisir un pas de temps grand,
dans l’id´ ee d’atteindre une plus grande efficacit´ e, car alors il serait impossible de suivre l’´ evolution des petites ´ echelles de temps. Donc il faut trouver
une solution num´ erique adapt´ ee. Nous en pr´ esentons ici trois : l’adoption
de sch´ emas num´ eriques efficaces, la d´ ecomposition en sous-´ etapes adapt´ ees ` a
chaque ´ echelle de temps, et la r´ eduction du syst` eme qui consiste ` a´ eliminer
les ´ echelles de temps les plus courtes.
5.1 Mod´ elisation de la cin´ etique chimique
On consid` ere un syst` eme r´ eactif comportant N e esp` eces chimiques Y i ,d a n s
lequel N r r´ eactions peuvent avoir lieu. Ces r´ eactions s’´ ecrivent
Ne
i=1
ν
−
ir Y i
kr
−→
Ne
i=1
ν
+
ir Y i ,
o` u k r d´ esigneletauxder´ eaction de la r´ eaction r, les coefficients ν
−
ir et ν
+
ir ´ etant
les coefficients stoechiom´ etriques de l’esp` ece Y i comme r´ eactif et produit de la
r´ eaction r.L ’ ´ equation diff´ erentielle qui donne la variation de la concentration
y i de l’esp` ece Y i est donc :