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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
4.4.3 Stabilit´ e asymptotique du sch´ ema
Introduisons une derni` ere notion. Pour juger de la qualit´ ed ’ u ns c h ´ ema de
discr´ etisation num´ erique sur les longs temps d’int´ egration, nous avons introduit pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires la notion de stabilit´ e, mesur´ e
sur l’´ equation prototype (5.22) `
as a v o i r
y
′ (t)=λy(t)
pour λ ∈ C | . Nous mesurions alors la capacit´ ed ’ u ns c h ´ ema ` a reproduire la
convergence en temps long vers z´ ero, lorsque λ a une partie r´ eelle n´ egative.
Ici, pour notre cadre stochastique, nous introduisons de mˆ eme l’´ equation
diff´ erentielle stochastique
dX t = λX t dt + µX t dB t ,
(4.92)
o` u λ et µ sont deux complexes fix´ es. Il est facile de voir que selon la position
de λ et µ dans le plan complexe, on a le comportement suivant de la solution
de (4.92) quand t −→ +∞,
lim
t−→ +∞
IE ( X
2
t ) = 0
si et seulement si
Re(λ)+
1
2
|µ|
2 < 0 (4.93)
ce qu’on appelle stabilit´ e en moyenne et
lim t−→ +∞ |X t | = 0 avec probabilit´ e1
si et seulement si
Re(λ −
1
2 µ
2 ) < 0
(4.94)
ce qu’on appelle stabilit´ e asymptotique. Noter que les deux notions de stabilit´ e
co¨ ıncident dans le cas d´ eterministe µ = 0, et redonnent ce qui est connu. De
l` a, la double d´ efinition suivante.
D´ efinition 4.27. On appelle domaine de stabilit´ e en moyenne, et respectivement domaine de stabilit´ e asymptotique, d’un sch´ ema num´ erique donn´ el e s
domaines des valeurs de (∆t,λ,µ) dans IR + × C | 2 pour lesquelles le sch´ ema
num´ erique reproduit pour la solution discr` ete les comportements des membres
de gauche de (4.93) et (4.94).
Pour le sch´ ema d’Euler-Maruyama, on peut montrer
lim
n−→ +∞
IE ( X
2
n ) = 0
si et seulement si
|1+∆t λ|
2 + ∆t |µ|
2 < 1
(4.95)
et
lim n−→ +∞ |X n | = 0
avec probabilit´ e1
si et seulement si
IE
Log
1+∆t λ +
√
∆t µ N (0, 1)
< 0
(4.96)
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
4.4.3 Stabilit´ e asymptotique du sch´ ema
Introduisons une derni` ere notion. Pour juger de la qualit´ ed ’ u ns c h ´ ema de
discr´ etisation num´ erique sur les longs temps d’int´ egration, nous avons introduit pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires la notion de stabilit´ e, mesur´ e
sur l’´ equation prototype (5.22) `
as a v o i r
y
′ (t)=λy(t)
pour λ ∈ C | . Nous mesurions alors la capacit´ ed ’ u ns c h ´ ema ` a reproduire la
convergence en temps long vers z´ ero, lorsque λ a une partie r´ eelle n´ egative.
Ici, pour notre cadre stochastique, nous introduisons de mˆ eme l’´ equation
diff´ erentielle stochastique
dX t = λX t dt + µX t dB t ,
(4.92)
o` u λ et µ sont deux complexes fix´ es. Il est facile de voir que selon la position
de λ et µ dans le plan complexe, on a le comportement suivant de la solution
de (4.92) quand t −→ +∞,
lim
t−→ +∞
IE ( X
2
t ) = 0
si et seulement si
Re(λ)+
1
2
|µ|
2 < 0 (4.93)
ce qu’on appelle stabilit´ e en moyenne et
lim t−→ +∞ |X t | = 0 avec probabilit´ e1
si et seulement si
Re(λ −
1
2 µ
2 ) < 0
(4.94)
ce qu’on appelle stabilit´ e asymptotique. Noter que les deux notions de stabilit´ e
co¨ ıncident dans le cas d´ eterministe µ = 0, et redonnent ce qui est connu. De
l` a, la double d´ efinition suivante.
D´ efinition 4.27. On appelle domaine de stabilit´ e en moyenne, et respectivement domaine de stabilit´ e asymptotique, d’un sch´ ema num´ erique donn´ el e s
domaines des valeurs de (∆t,λ,µ) dans IR + × C | 2 pour lesquelles le sch´ ema
num´ erique reproduit pour la solution discr` ete les comportements des membres
de gauche de (4.93) et (4.94).
Pour le sch´ ema d’Euler-Maruyama, on peut montrer
lim
n−→ +∞
IE ( X
2
n ) = 0
si et seulement si
|1+∆t λ|
2 + ∆t |µ|
2 < 1
(4.95)
et
lim n−→ +∞ |X n | = 0
avec probabilit´ e1
si et seulement si
IE
Log
1+∆t λ +
√
∆t µ N (0, 1)
< 0
(4.96)