4.4 A lire apr` es le Chapitre 5 : notions de base d’analyse num´ erique des EDS
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4.4.2 Convergence faible du sch´ ema
La notion d’ordre de convergence forte mesure l’´ ecart entre simulation num´ erique et solution exacte en termes d’esp´ erance, c’est-` a-dire en moyenne. Elle a
notamment une implication sur l’´ ecart pour chaque r´ ealisation, puisque d` es
que les variables al´ eatoires |X n − X n∆t | sont d’esp´ erance born´ ee, on peut
affirmer
IP ( |X n − X tn |≥a) ≤
1
a
IE ( |X n − X tn |),
(4.89)
et donc, dans la situation d’un sch´ ema d’ordre 1/2,
IP
|X n − X tn |≥(∆t)
1/4
≤ C(∆t)
1/4 ,
(4.90)
ce qui donne une ´ evaluation, r´ ealisation par r´ ealisation, de l’erreur num´ erique
r´ ealis´ ee.
On peut ˆ etre moins exigeant que la convergence forte, qui demande la
convergence en moyenne, et introduire la.
D´ efinition 4.26. Dans les mˆ emes conditions que la D´ efinition pr´ ec´ edente, on
dit que le sch´ ema a l’ordre β de convergence faible, s’il existe une constante
C telle que
IE
ϕ(X n )
− IE
ϕ(X n∆t )
≤ C (∆t)
β ,
(4.91)
pour toute fonction ϕ de classe C
∞ , telle qu’elle-mˆ eme et toutes ses d´ eriv´ ees
soient ` a croissance polynˆ omiale `
a l’infini.
Cette d´ efinition se justifie en ce que, dans la plupart des situations pratiques,
on ne cherche pas ` ac a l c u l e rv ´ eritablement le processus X t lui-mˆ eme, mais
seulement une esp´ erance bˆ atie ` a partir de ce processus, ne faisant donc intervenir que la densit´ e de ce processus, ou en d’autres termes des IE
ϕ(X n∆t )
,
dont la pr´ ecision est pr´ ecis´ ement r´ egie par cette notion de convergence faible.
Ceci est exactement la situation pour notre simulation de fluides polym` eriques,
puisque les ´ equations diff´ erentielles stochastiques sont alors utilis´ ees pour
calculer le tenseur des contraintes par la formule (4.70), c’est-` a-dire une
esp´ erance.
On peut montrer que le sch´ ema d’Euler-Maruyama est faiblement convergent d’ordre β = 1 pour l’approximation de l’´ equation diff´ erentielle stochastique (4.78) avec des donn´ ees f et σ suffisamment r´ eguli` eres. La notion de
convergence faible permet donc de retrouver le r´ esultat d’ordre du cadre
d´ eterministe.
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4.4.2 Convergence faible du sch´ ema
La notion d’ordre de convergence forte mesure l’´ ecart entre simulation num´ erique et solution exacte en termes d’esp´ erance, c’est-` a-dire en moyenne. Elle a
notamment une implication sur l’´ ecart pour chaque r´ ealisation, puisque d` es
que les variables al´ eatoires |X n − X n∆t | sont d’esp´ erance born´ ee, on peut
affirmer
IP ( |X n − X tn |≥a) ≤
1
a
IE ( |X n − X tn |),
(4.89)
et donc, dans la situation d’un sch´ ema d’ordre 1/2,
IP
|X n − X tn |≥(∆t)
1/4
≤ C(∆t)
1/4 ,
(4.90)
ce qui donne une ´ evaluation, r´ ealisation par r´ ealisation, de l’erreur num´ erique
r´ ealis´ ee.
On peut ˆ etre moins exigeant que la convergence forte, qui demande la
convergence en moyenne, et introduire la.
D´ efinition 4.26. Dans les mˆ emes conditions que la D´ efinition pr´ ec´ edente, on
dit que le sch´ ema a l’ordre β de convergence faible, s’il existe une constante
C telle que
IE
ϕ(X n )
− IE
ϕ(X n∆t )
≤ C (∆t)
β ,
(4.91)
pour toute fonction ϕ de classe C
∞ , telle qu’elle-mˆ eme et toutes ses d´ eriv´ ees
soient ` a croissance polynˆ omiale `
a l’infini.
Cette d´ efinition se justifie en ce que, dans la plupart des situations pratiques,
on ne cherche pas ` ac a l c u l e rv ´ eritablement le processus X t lui-mˆ eme, mais
seulement une esp´ erance bˆ atie ` a partir de ce processus, ne faisant donc intervenir que la densit´ e de ce processus, ou en d’autres termes des IE
ϕ(X n∆t )
,
dont la pr´ ecision est pr´ ecis´ ement r´ egie par cette notion de convergence faible.
Ceci est exactement la situation pour notre simulation de fluides polym` eriques,
puisque les ´ equations diff´ erentielles stochastiques sont alors utilis´ ees pour
calculer le tenseur des contraintes par la formule (4.70), c’est-` a-dire une
esp´ erance.
On peut montrer que le sch´ ema d’Euler-Maruyama est faiblement convergent d’ordre β = 1 pour l’approximation de l’´ equation diff´ erentielle stochastique (4.78) avec des donn´ ees f et σ suffisamment r´ eguli` eres. La notion de
convergence faible permet donc de retrouver le r´ esultat d’ordre du cadre
d´ eterministe.