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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
d’o` ul es c h ´ ema (4.80). Cette approximation (4.87) n’est pas exacte `
a l’ordre
∆t,mais` a l’ordre (∆t)
1/2 parce qu’elle consiste ` an ´ egliger la d´ eriv´ ee de σ(X s )
(ce qui n’a aucune influence dans le cas o` u σ est constant, conform´ ement ` a
ce qu’on a vu ci-dessus). On a en fait oubli´ e un terme d’ordre sup´ erieur `
a ∆t,
rendant impossible d’obtenir un sch´ ema fortement convergent d’ordre 1.
En fait, la bonne fa¸ con de proc´ eder est de faire un calcul d’Itˆ os u rσ(X t )
qui s’´ ecrit (on l’admet)
σ(X t )=σ(X tn )+
t
tn
σ(X s )σ
′ (X s ) dB s
+
t
tn
σ
′ (X s )f (X s )+
1
2
σ
′′ (X s )σ
2 (X s )
ds.
Cette relation est la forme math´ ematique de
d(σ(X t )) = σ
′ (X t ) dX t +
1
2
σ
′′ (X t )σ
2 (X t )dt,
qui est une loi des fonctions compos´ ees diff´ erente du cas d´ eterministe. Elle
conduit donc `
a approcher σ(X t ) selon
σ(X t ) ≈ σ(X tn )+
t
tn
σ(X s )σ
′ (X s ) dB s ≈ σ(X tn )+σ(X n )σ
′ (X n )(B t − B tn )
En ins´ erant cela dans l’int´ egrale (4.87), on obtient donc
tn+1
tn
σ(X t ) dB t
≈ σ(X tn )(B tn+1 − B tn )+σ(X n )σ
′ (X n )
tn+1
tn
(B t − B tn ) dB t
= σ(X tn )(B tn+1 − B tn )+σ(X n )σ
′ (X n )
(B tn+1 − B tn )
2 − ∆t
En regroupant, on a introduit le sch´ ema dit sch´ ema d’Euler-Milstein
X n+1 − X n = f (X n ) ∆t + σ(X n )(B tn+1 − B tn )
+
1
2
σ(X n )σ
′ (X n )
(B tn+1 − B tn )
2 − ∆t
(4.88)
Ce sch´ ema est, lui, fortement convergent d’ordre 1 pour la discr´ etisation
de (4.78) (avec des donn´ ees f et σ assez r´ eguli` eres), comme son analogue
d´ eterministe, le sch´ ema d’Euler explicite. On notera bien sˆ ur que, quand le
terme σ devant le brownien est une fonction constante, ce qui est le cas dans
notre simulation de fluides polym´ eriques, les deux sch´ emas d’Euler-Maruyama
et Euler-Milstein sont identiques.