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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
fonctions f et σ d´ ependant explicitement du temps (i.e. f (t, X t )e tσ(t, X t ))
peuvent ˆ etre envisag´ ees, mais elles ne le seront pas ici. De mˆ eme que ne le
seront pas le cas de donn´ ees f et σ moins r´ eguli` eres.
Comme d’habitude, on rappelle que (4.78) n’est qu’une notation pour
l’´ equation
X t = X 0 +
t
0
f (X s ) ds +
t
0
σ(X s ) dB s ,
(4.79)
vraie presque sˆ urement, et pour tout temps t. Pour l’approximation de la
solution X t de cette ´ equation aux temps t n = n∆t par une variable al´ eatoire
en temps discret X n ,lesch´ ema le plus simple est le sch´ ema dit sch´ ema d’EulerMaruyama suivant, tr` es intuitif,
X n+1 = X n + f (X n ) ∆t + σ(X n )(B tn+1 − B tn ).
(4.80)
C’est en fait le sch´ ema que nous avons spontan´ ement utilis´ e en (4.71). Dans
la pratique, comme l’accroissement B tn+1 − B tn est une variable al´ eatoire
gaussienne centr´ ed ev a r i a n c et n+1 − t n = ∆t,o ns i m u l e r a
X n+1 = X n + f (X n ) ∆t + σ(X n )
√
∆tN (0, 1),
(4.81)
o` u N (0, 1) est une variable al´ eatoire gaussienne centr´ ee r´ eduite.
Comme X tn , solution exacte de (4.78) au temps t n = n∆t,e tX n sont
des variables al´ eatoires, toutes les normes ne sont pas ´ equivalentes pour
´ evaluer leur diff´ erence. Il s’ensuit diff´ erentes notions de convergence du sch´ ema
num´ erique.
4.4.1 Convergence forte du sch´ ema
La premi` ere notion de convergence est la suivante.
D´ efinition 4.25. Le sch´ ema num´ erique pour la simulation de l’´ equation
diff´ erentielle stochastique est dit avoir l’ordre α>0 de convergence forte
s’il existe une constante C,´ eventuellement d´ ependant de l’intervalle [0,T] de
simulation, telle que, pour toute discr´ etisation de pas ∆t,o na ,p o u rt o u tn,
IE
X n − X tn
≤ C (∆t)
α .
(4.82)
A l’aide de cette d´ efinition, regardons en d´ etail la discr´ etisation que nous
avons effectu´ ee en (4.71). Nous avons ´ ecrit une approximation du type
X n+1 − X n =
tn+1
tn
f (X t ) dt +
tn+1
tn
dB t
≈ f (X n ) ∆t +( B tn+1 − B tn )
(4.83)
pour une ´ equation diff´ erentielle stochastique en fait de la forme (4.61) i.e.
dX t = f (t, X t ) dt + σdB t .
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
fonctions f et σ d´ ependant explicitement du temps (i.e. f (t, X t )e tσ(t, X t ))
peuvent ˆ etre envisag´ ees, mais elles ne le seront pas ici. De mˆ eme que ne le
seront pas le cas de donn´ ees f et σ moins r´ eguli` eres.
Comme d’habitude, on rappelle que (4.78) n’est qu’une notation pour
l’´ equation
X t = X 0 +
t
0
f (X s ) ds +
t
0
σ(X s ) dB s ,
(4.79)
vraie presque sˆ urement, et pour tout temps t. Pour l’approximation de la
solution X t de cette ´ equation aux temps t n = n∆t par une variable al´ eatoire
en temps discret X n ,lesch´ ema le plus simple est le sch´ ema dit sch´ ema d’EulerMaruyama suivant, tr` es intuitif,
X n+1 = X n + f (X n ) ∆t + σ(X n )(B tn+1 − B tn ).
(4.80)
C’est en fait le sch´ ema que nous avons spontan´ ement utilis´ e en (4.71). Dans
la pratique, comme l’accroissement B tn+1 − B tn est une variable al´ eatoire
gaussienne centr´ ed ev a r i a n c et n+1 − t n = ∆t,o ns i m u l e r a
X n+1 = X n + f (X n ) ∆t + σ(X n )
√
∆tN (0, 1),
(4.81)
o` u N (0, 1) est une variable al´ eatoire gaussienne centr´ ee r´ eduite.
Comme X tn , solution exacte de (4.78) au temps t n = n∆t,e tX n sont
des variables al´ eatoires, toutes les normes ne sont pas ´ equivalentes pour
´ evaluer leur diff´ erence. Il s’ensuit diff´ erentes notions de convergence du sch´ ema
num´ erique.
4.4.1 Convergence forte du sch´ ema
La premi` ere notion de convergence est la suivante.
D´ efinition 4.25. Le sch´ ema num´ erique pour la simulation de l’´ equation
diff´ erentielle stochastique est dit avoir l’ordre α>0 de convergence forte
s’il existe une constante C,´ eventuellement d´ ependant de l’intervalle [0,T] de
simulation, telle que, pour toute discr´ etisation de pas ∆t,o na ,p o u rt o u tn,
IE
X n − X tn
≤ C (∆t)
α .
(4.82)
A l’aide de cette d´ efinition, regardons en d´ etail la discr´ etisation que nous
avons effectu´ ee en (4.71). Nous avons ´ ecrit une approximation du type
X n+1 − X n =
tn+1
tn
f (X t ) dt +
tn+1
tn
dB t
≈ f (X n ) ∆t +( B tn+1 − B tn )
(4.83)
pour une ´ equation diff´ erentielle stochastique en fait de la forme (4.61) i.e.
dX t = f (t, X t ) dt + σdB t .