164
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Remarque 4.23. Il faut bien sˆ ur noter que les sous-´ etapes (2.1)-(2.2)-(2.3) peuvent ˆ etre effectu´ ees en parall` ele (ce qui peut ˆ etre un gain de temps colossal,
vu le nombre d’intervalles). Dans un gros calcul, sur un gros ordinateur, on
distribue sur chaque processeur un certain nombre de tels intervalles en espace.
Charge ` ac h a c u nd ef a i r e´ evoluer d’un pas de temps “ses” halt` eres. De mˆ eme
(mais le gain est moins important, et on pourrait faire autrement), les ´ etapes
( 1 )e t( 2 )d ´ ecrites ci-dessus peuvent ˆ etre faites simultan´ ement.
Remarque 4.24. On remarquera qu’il y a exactement autant d’´ equations diff´ erentielles stochastiques que de dimensions dans l’espace de configuration. Il
est donc clair que le coˆ ut du calcul est proportionnel `
a la dimension, et non
exponentiel comme dans le cas des discr´ etisations de l’´ equation de FokkerPlanck (en effet, s’il faut N points pour une discr´ etisation diff´ erences finies
en 1D, il faudra, pour obtenir la mˆ eme pr´ ecision, grosso modo N
d points en
dimension d).
Ayant d´ ecrit les deux approches Fokker-Planck (m´ ethode 1 de la Section 4.3.3) et Equations diff´ erentielles Stochastiques (m´ ethode 2 de la Section 4.3.4), il est utile de commenter leurs int´ erˆ ets respectifs.
La m´ ethode 1 est pour l’instant restreinte aux cas de petites dimensions,
vu les questions de complexit´ e´ evoqu´ ees dans la Remarque 4.24. Cependant,
quand elle est possible, elle est plus rapide que la m´ ethode 2 (dans cette
derni` ere, la g´ en´ eration du hasard, plus la gestion des diff´ erentes r´ ealisations
des processus prennent du temps), et ceci se comprend d’un point de vue
heuristique si on se souvient de la Remarque 4.17 : la m´ ethode 1 ne calcule
que ce qui est requis par le mod` ele, ` asa v oirladensit ´ e, alors que la m´ ethode 2
calcule plus que cela, ` a savoir le processus. Le bilan actuel de la recherche
en ce domaine est donc : on utilise la m´ ethode 1 d` es que cela est possible, ` a
savoir pour les cas de petite dimension, et la m´ ethode 2 pour traiter les plus
grandes dimensions. Les efforts portent ` a la fois sur des tentatives d’extension
de la m´ ethode 1 ` a des plus grandes dimensions, et des acc´ el´ erations de la
m´ ethode 2 en grandes dimensions. Bien entendu, cela n’emp` eche pas de tester
et am´ eliorer la m´ ethode 2 d` es la petite dimension, c’est ce que nous avons fait
ici.
4.3.5 Un r´ esultat num´ erique
Le r´ esultat ci-dessus met en ´ evidence l’effet d’overshoot : lorsqu’on met en
mouvement un fluide visco´ elastique dans un plan de Couette par un ´ echelon
de vitesse (4.40), la vitesse peut prendre localement des valeurs sup´ erieures ` a
la vitesse d’´ equilibre asymptotique
u(y)=1−
y
H
,
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Remarque 4.23. Il faut bien sˆ ur noter que les sous-´ etapes (2.1)-(2.2)-(2.3) peuvent ˆ etre effectu´ ees en parall` ele (ce qui peut ˆ etre un gain de temps colossal,
vu le nombre d’intervalles). Dans un gros calcul, sur un gros ordinateur, on
distribue sur chaque processeur un certain nombre de tels intervalles en espace.
Charge ` ac h a c u nd ef a i r e´ evoluer d’un pas de temps “ses” halt` eres. De mˆ eme
(mais le gain est moins important, et on pourrait faire autrement), les ´ etapes
( 1 )e t( 2 )d ´ ecrites ci-dessus peuvent ˆ etre faites simultan´ ement.
Remarque 4.24. On remarquera qu’il y a exactement autant d’´ equations diff´ erentielles stochastiques que de dimensions dans l’espace de configuration. Il
est donc clair que le coˆ ut du calcul est proportionnel `
a la dimension, et non
exponentiel comme dans le cas des discr´ etisations de l’´ equation de FokkerPlanck (en effet, s’il faut N points pour une discr´ etisation diff´ erences finies
en 1D, il faudra, pour obtenir la mˆ eme pr´ ecision, grosso modo N
d points en
dimension d).
Ayant d´ ecrit les deux approches Fokker-Planck (m´ ethode 1 de la Section 4.3.3) et Equations diff´ erentielles Stochastiques (m´ ethode 2 de la Section 4.3.4), il est utile de commenter leurs int´ erˆ ets respectifs.
La m´ ethode 1 est pour l’instant restreinte aux cas de petites dimensions,
vu les questions de complexit´ e´ evoqu´ ees dans la Remarque 4.24. Cependant,
quand elle est possible, elle est plus rapide que la m´ ethode 2 (dans cette
derni` ere, la g´ en´ eration du hasard, plus la gestion des diff´ erentes r´ ealisations
des processus prennent du temps), et ceci se comprend d’un point de vue
heuristique si on se souvient de la Remarque 4.17 : la m´ ethode 1 ne calcule
que ce qui est requis par le mod` ele, ` asa v oirladensit ´ e, alors que la m´ ethode 2
calcule plus que cela, ` a savoir le processus. Le bilan actuel de la recherche
en ce domaine est donc : on utilise la m´ ethode 1 d` es que cela est possible, ` a
savoir pour les cas de petite dimension, et la m´ ethode 2 pour traiter les plus
grandes dimensions. Les efforts portent ` a la fois sur des tentatives d’extension
de la m´ ethode 1 ` a des plus grandes dimensions, et des acc´ el´ erations de la
m´ ethode 2 en grandes dimensions. Bien entendu, cela n’emp` eche pas de tester
et am´ eliorer la m´ ethode 2 d` es la petite dimension, c’est ce que nous avons fait
ici.
4.3.5 Un r´ esultat num´ erique
Le r´ esultat ci-dessus met en ´ evidence l’effet d’overshoot : lorsqu’on met en
mouvement un fluide visco´ elastique dans un plan de Couette par un ´ echelon
de vitesse (4.40), la vitesse peut prendre localement des valeurs sup´ erieures ` a
la vitesse d’´ equilibre asymptotique
u(y)=1−
y
H
,