4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
163
˜
P
n+1
i,j
=
1 −
2K
ζ
˜
P
n
i,j +
√
2∆tσ
ζ
V
n
i,j .
(4.76)
Exercice 4.22. Pour obtenir effectivement une r´ eduction de variance, il est
n´ ecessaire d’utiliser pour simuler ˜
P les mˆ emes V
n
i,j que ceux utilis´ es pour
simuler P . Pour quelle raison ?
Pour calculer (τ
h )
n+1
i
on utilise donc finalement, en lieu et place de (4.74),
(τ
h )
n+1
i
= n p KIE ( PQ)
= n p K(IE( ˜
P ˜
Q)+I E(PQ− ˜
P ˜
Q))
= n p K(0 + IE(PQ− ˜
P ˜
Q))
≈
n p K
J
J
j=1
(P
n+1
i,j Q
n+1
j
− ˜
P
n+1
i,j
˜
Q
n+1
j
)
≈
n p K
J
J
j=1
((P
n+1
i,j
− ˜
P
n+1
i,j )Q
n+1
j
)
(4.77)
Avant de passer ` aunr´ esultat num´ erique, il est utile de d’abord synth´ etiser
la d´ emarche en indiquant ce que repr´ esente globalement la simulation num´ erique. A chaque instant t
n , connaissant ((u
h )
n , (τ
h )
n ), on avance en temps
d’un pas de longueur ∆t de la mani` ere suivante :
(1) connaissant les (τ
h )
n
i pour tous les intervalles indic´ es par i,o ni n s ` ere
ces valeurs dans la discr´ etisation ´ el´ ements finis en espace (y)e td i f -
f´ erences finies en temps (4.49) de l’´ equation macroscopique fluide ; on
en d´ eduit les nouvelles valeurs de la vitesse U
n+1
i
(1 ≤ i ≤ N − 1).
(2) en chaque intervalle de longueur ∆y,
(2.1)
on simule une collection de J r´ ealisations des processus de
Wiener V
n
i,j et W
n
j (1 ≤ j ≤ J) (en fait les seconds sont ind´ ependants
de l’intervalle, mais c’est une singularit´ e due `
a la simplicit´ ed uc a s
que nous avons choisi) ; si on adopte une m´ ethode de r´ eduction de
variance par variables de contrˆ ole, on met ` a jour la variable ˜
P i,j par
(4.76) ;
(2.2)
en utilisant les valeurs de U
n+1
i
(1 ≤ i ≤ N − 1), on r´ ealise
l’avanc´ ee d’un pas de temps des sch´ emas aux diff´ erences finies (4.73)
discr´ etisant les ´ equations diff´ erentielles stochastiques (4.69), d’o` ul e s
valeurs de P
n+1
i,j
et Q
n+1
j
;
(2.3)
en moyennant sur les J r´ ealisations, on obtient la moyenne
empirique (4.74) donnant la valeur du tenseur des contraintes (τ
h )
n+1
i
au nouveau pas de temps, et on boucle.
163
˜
P
n+1
i,j
=
1 −
2K
ζ
˜
P
n
i,j +
√
2∆tσ
ζ
V
n
i,j .
(4.76)
Exercice 4.22. Pour obtenir effectivement une r´ eduction de variance, il est
n´ ecessaire d’utiliser pour simuler ˜
P les mˆ emes V
n
i,j que ceux utilis´ es pour
simuler P . Pour quelle raison ?
Pour calculer (τ
h )
n+1
i
on utilise donc finalement, en lieu et place de (4.74),
(τ
h )
n+1
i
= n p KIE ( PQ)
= n p K(IE( ˜
P ˜
Q)+I E(PQ− ˜
P ˜
Q))
= n p K(0 + IE(PQ− ˜
P ˜
Q))
≈
n p K
J
J
j=1
(P
n+1
i,j Q
n+1
j
− ˜
P
n+1
i,j
˜
Q
n+1
j
)
≈
n p K
J
J
j=1
((P
n+1
i,j
− ˜
P
n+1
i,j )Q
n+1
j
)
(4.77)
Avant de passer ` aunr´ esultat num´ erique, il est utile de d’abord synth´ etiser
la d´ emarche en indiquant ce que repr´ esente globalement la simulation num´ erique. A chaque instant t
n , connaissant ((u
h )
n , (τ
h )
n ), on avance en temps
d’un pas de longueur ∆t de la mani` ere suivante :
(1) connaissant les (τ
h )
n
i pour tous les intervalles indic´ es par i,o ni n s ` ere
ces valeurs dans la discr´ etisation ´ el´ ements finis en espace (y)e td i f -
f´ erences finies en temps (4.49) de l’´ equation macroscopique fluide ; on
en d´ eduit les nouvelles valeurs de la vitesse U
n+1
i
(1 ≤ i ≤ N − 1).
(2) en chaque intervalle de longueur ∆y,
(2.1)
on simule une collection de J r´ ealisations des processus de
Wiener V
n
i,j et W
n
j (1 ≤ j ≤ J) (en fait les seconds sont ind´ ependants
de l’intervalle, mais c’est une singularit´ e due `
a la simplicit´ ed uc a s
que nous avons choisi) ; si on adopte une m´ ethode de r´ eduction de
variance par variables de contrˆ ole, on met ` a jour la variable ˜
P i,j par
(4.76) ;
(2.2)
en utilisant les valeurs de U
n+1
i
(1 ≤ i ≤ N − 1), on r´ ealise
l’avanc´ ee d’un pas de temps des sch´ emas aux diff´ erences finies (4.73)
discr´ etisant les ´ equations diff´ erentielles stochastiques (4.69), d’o` ul e s
valeurs de P
n+1
i,j
et Q
n+1
j
;
(2.3)
en moyennant sur les J r´ ealisations, on obtient la moyenne
empirique (4.74) donnant la valeur du tenseur des contraintes (τ
h )
n+1
i
au nouveau pas de temps, et on boucle.