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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
On voit donc qu’` an o m b r ed er ´ ealisations fix´ e, plus la variance est petite,
meilleure est l’approximation.
Pour r´ eduire la variance et am´ eliorer ainsi la convergence, on peut mettre en
oeuvre des m´ ethodes dites de r´ eduction de variance. En voici deux exemples.
La premi` ere m´ ethode consiste ` ac o r r ´ eler en espace les trajectoires des P i .
L’id´ ee est de diminuer le bruit dˆ u aux variations du brownien en espace dans
le calcul du tenseur des contraintes. Concr` etement, cette m´ ethode consiste ` a
prendre comme condition initiale sur les P i : P
0
i,j = P
0
j , P
0
j d´ esignant des
gaussiennes centr´ ees ne d´ ependant pas de i et ` a remplacer (4.73) par
P
n+1
i,j
= ∆t
U
n+1
i
− U
n+1
i−1
∆y
Q j
n +
1 −
2K ∆t
ζ
P
n
i,j +
√
2∆tσ
ζ
V
n
j . (4.75)
Noter que V
n
j ar e m p l a c ´ e V
n
i,j .
La seconde m´ ethode (de port´ ee plus g´ en´ erale) consiste ` a utiliser des var i a b l e sd ec o n t r ˆ
ole. Il s’agit de ne pas calculer directement IE(PQ), mais
s´ epar´ ement chacun des deux termes de la somme
IE ( PQ)=I E( ˜
P ˜
Q)+I E(PQ− ˜
P ˜
Q)
o` u ˜
P et ˜
Q sont deux processus al´ eatoires (d´ efinis par des EDS) tels que
–I E ( ˜
P ˜
Q) soit facile ` a calculer ”analytiquement” (tout au moins sans simulation stochastique)
– ˜
P ˜
Q soit proche de PQ de telle sorte que Var(PQ− ˜
P ˜
Q) << Var(PQ).
Les deux choix extrˆ emes sont les suivants :
– ˜
P = ˜
Q = 0 auquel cas IE( ˜
P ˜
Q) est tr` es facile ` a calculer mais on n’a rien
gagn´ ee nv a r i a n c e;
– ˜
P = P et ˜
Q = Q auquel cas Var(PQ− ˜
P ˜
Q)=0maisI E( ˜
P ˜
Q) n’est alors
pas plus facile `
a calculer que IE(PQ)!
Il s’agit donc de trouver un compromis entre deux exigences incompatibles.
Dans le cas qui nous int´ eresse, on peut d´ efinir ˜
P et ˜
Q par les EDS v´ erifi´ ees
par P et Q respectivement en l’absence de cisaillement. On obtient ainsi
d ˜
P (t)=−
2K
ζ
˜
P (t)dt +
√
2 σ
ζ
dV t
d ˜
Q(t)=−
2K
ζ
˜
Q(t)dt +
√
2 σ
ζ
dW t .
On observe qu’alors ˜
Q et Q v´ erifient la mˆ eme EDS et que ˜
P ne d´ epend plus
de y. Par ailleurs, on a ´ evidemment IE( ˜
P ˜
Q)=0car ˜
P et ˜
Q sont ind´ ependants,
et chacun d’esp´ erance nulle (c’est un simple calcul sur l’EDS ci-dessus). Pour
simuler IE(PQ − ˜
P ˜
Q) on utilise le sch´ ema d’Euler explicite. On pose donc,
pour chaque n, ˜
Q
n
j = Q
n
j et
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
On voit donc qu’` an o m b r ed er ´ ealisations fix´ e, plus la variance est petite,
meilleure est l’approximation.
Pour r´ eduire la variance et am´ eliorer ainsi la convergence, on peut mettre en
oeuvre des m´ ethodes dites de r´ eduction de variance. En voici deux exemples.
La premi` ere m´ ethode consiste ` ac o r r ´ eler en espace les trajectoires des P i .
L’id´ ee est de diminuer le bruit dˆ u aux variations du brownien en espace dans
le calcul du tenseur des contraintes. Concr` etement, cette m´ ethode consiste ` a
prendre comme condition initiale sur les P i : P
0
i,j = P
0
j , P
0
j d´ esignant des
gaussiennes centr´ ees ne d´ ependant pas de i et ` a remplacer (4.73) par
P
n+1
i,j
= ∆t
U
n+1
i
− U
n+1
i−1
∆y
Q j
n +
1 −
2K ∆t
ζ
P
n
i,j +
√
2∆tσ
ζ
V
n
j . (4.75)
Noter que V
n
j ar e m p l a c ´ e V
n
i,j .
La seconde m´ ethode (de port´ ee plus g´ en´ erale) consiste ` a utiliser des var i a b l e sd ec o n t r ˆ
ole. Il s’agit de ne pas calculer directement IE(PQ), mais
s´ epar´ ement chacun des deux termes de la somme
IE ( PQ)=I E( ˜
P ˜
Q)+I E(PQ− ˜
P ˜
Q)
o` u ˜
P et ˜
Q sont deux processus al´ eatoires (d´ efinis par des EDS) tels que
–I E ( ˜
P ˜
Q) soit facile ` a calculer ”analytiquement” (tout au moins sans simulation stochastique)
– ˜
P ˜
Q soit proche de PQ de telle sorte que Var(PQ− ˜
P ˜
Q) << Var(PQ).
Les deux choix extrˆ emes sont les suivants :
– ˜
P = ˜
Q = 0 auquel cas IE( ˜
P ˜
Q) est tr` es facile ` a calculer mais on n’a rien
gagn´ ee nv a r i a n c e;
– ˜
P = P et ˜
Q = Q auquel cas Var(PQ− ˜
P ˜
Q)=0maisI E( ˜
P ˜
Q) n’est alors
pas plus facile `
a calculer que IE(PQ)!
Il s’agit donc de trouver un compromis entre deux exigences incompatibles.
Dans le cas qui nous int´ eresse, on peut d´ efinir ˜
P et ˜
Q par les EDS v´ erifi´ ees
par P et Q respectivement en l’absence de cisaillement. On obtient ainsi
d ˜
P (t)=−
2K
ζ
˜
P (t)dt +
√
2 σ
ζ
dV t
d ˜
Q(t)=−
2K
ζ
˜
Q(t)dt +
√
2 σ
ζ
dW t .
On observe qu’alors ˜
Q et Q v´ erifient la mˆ eme EDS et que ˜
P ne d´ epend plus
de y. Par ailleurs, on a ´ evidemment IE( ˜
P ˜
Q)=0car ˜
P et ˜
Q sont ind´ ependants,
et chacun d’esp´ erance nulle (c’est un simple calcul sur l’EDS ci-dessus). Pour
simuler IE(PQ − ˜
P ˜
Q) on utilise le sch´ ema d’Euler explicite. On pose donc,
pour chaque n, ˜
Q
n
j = Q
n
j et