4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
161
pour 1 ≤ j ≤ J (o` ul e sv a r i a b l e sV
n
i,j et W
n
j sont des gaussiennes centr´ ees
r´ eduites ind´ ependantes), et on obtient (τ
h )
n+1
i
en calculant l’esp´ erance empirique (cf. la loi forte des grands nombres) :
(τ
h )
n+1
i
=
n p K
J
J
j=1
P
n+1
i,j Q
n+1
j
(4.74)
Il reste enfin ` ap r ´ eciser les conditions initiales sur P et Q. Le fluide ´ etant au
repos ` a l’instant initial, on prend naturellement (τ
h )
0
i = 0 pour tout i,etpour
cela on choisit pour P
0
i et Q
0 des gaussiennes centr´ ees ind´ ependantes.
A ce stade, on sait donc simuler compl` etement le syst` eme (4.35) sous la
forme (4.49)-(4.73)-(4.74).
Une remarque tr` es importante s’impose alors : comme la contrainte
(τ
h )
n+1
i
discr` ete s’exprime par une moyenne empirique (4.74), elle est donc
aussi une variable al´ eatoire, alors que tant qu’on n’a pas discr´ etis´ e au niveau
Monte-Carlo, elle est encore une variable d´ eterministe (l’esp´ erance (4.72) est
une variable d´ eterministe). Il s’ensuit que, dans cette deuxi` eme m´ ethode bas´ ee
sur une technique stochastique, et contrairement `
alapremi ` ere m´ ethode purement d´ eterministe, la vitesse macroscopique du fluide, qui d´ epend de (τ
h )
n+1
i
via l’´ equation macroscopique (4.46), est aussi une variable al´ eatoire !
C e c ial ac o n s ´ equence inattendue suivante : pour calculer avec cette seconde m´ ethode une vitesse du fluide, ou une champ de contrainte, il faudra
moyenner le r´ esultat sur plusieurs exp´ eriences num´ eriques.
Mˆ eme moyenn´ ee, une telle simulation rencontre les habituelles difficult´ es
des simulations de type Monte-Carlo, comme la pr´ esence de bruit. Nous terminons donc cette section par des notions plus avanc´ e e ss u rc et y ped es i m u -
lation, que le lecteur peu attir´ e par ces aspects peut ais´ ement omettre, sans
pr´ ejudice pour la suite du cours.
Si on dispose de J r´ ealisations ind´ ependantes (X i ) 1≤i≤J d’une variable
al´ eatoire X dont on cherche `
a calculer l’esp´ erance, on a par le th´ eor` eme de la
limite centrale
P
1
J
J
i=1
X i ∈
IE ( X) − 1.96
σ
√
J
, IE ( X)+1.96
σ
√
J
≈ 0.95
o` u σ
2 =V ar(X)=I E((X − IE ( X))
2 )d ´ esigne la variance de X.
Exercice 4.21. Montrer le r´ esultat suivant, qui donne ´ egalement une estimation de l’erreur d’approximation, mais cette fois en norme L
2 :
IE
⎛
⎝
1
J
J
i=1
X i − IE ( X)
2 ⎞
⎠ ≤
σ
2
J
.
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pour 1 ≤ j ≤ J (o` ul e sv a r i a b l e sV
n
i,j et W
n
j sont des gaussiennes centr´ ees
r´ eduites ind´ ependantes), et on obtient (τ
h )
n+1
i
en calculant l’esp´ erance empirique (cf. la loi forte des grands nombres) :
(τ
h )
n+1
i
=
n p K
J
J
j=1
P
n+1
i,j Q
n+1
j
(4.74)
Il reste enfin ` ap r ´ eciser les conditions initiales sur P et Q. Le fluide ´ etant au
repos ` a l’instant initial, on prend naturellement (τ
h )
0
i = 0 pour tout i,etpour
cela on choisit pour P
0
i et Q
0 des gaussiennes centr´ ees ind´ ependantes.
A ce stade, on sait donc simuler compl` etement le syst` eme (4.35) sous la
forme (4.49)-(4.73)-(4.74).
Une remarque tr` es importante s’impose alors : comme la contrainte
(τ
h )
n+1
i
discr` ete s’exprime par une moyenne empirique (4.74), elle est donc
aussi une variable al´ eatoire, alors que tant qu’on n’a pas discr´ etis´ e au niveau
Monte-Carlo, elle est encore une variable d´ eterministe (l’esp´ erance (4.72) est
une variable d´ eterministe). Il s’ensuit que, dans cette deuxi` eme m´ ethode bas´ ee
sur une technique stochastique, et contrairement `
alapremi ` ere m´ ethode purement d´ eterministe, la vitesse macroscopique du fluide, qui d´ epend de (τ
h )
n+1
i
via l’´ equation macroscopique (4.46), est aussi une variable al´ eatoire !
C e c ial ac o n s ´ equence inattendue suivante : pour calculer avec cette seconde m´ ethode une vitesse du fluide, ou une champ de contrainte, il faudra
moyenner le r´ esultat sur plusieurs exp´ eriences num´ eriques.
Mˆ eme moyenn´ ee, une telle simulation rencontre les habituelles difficult´ es
des simulations de type Monte-Carlo, comme la pr´ esence de bruit. Nous terminons donc cette section par des notions plus avanc´ e e ss u rc et y ped es i m u -
lation, que le lecteur peu attir´ e par ces aspects peut ais´ ement omettre, sans
pr´ ejudice pour la suite du cours.
Si on dispose de J r´ ealisations ind´ ependantes (X i ) 1≤i≤J d’une variable
al´ eatoire X dont on cherche `
a calculer l’esp´ erance, on a par le th´ eor` eme de la
limite centrale
P
1
J
J
i=1
X i ∈
IE ( X) − 1.96
σ
√
J
, IE ( X)+1.96
σ
√
J
≈ 0.95
o` u σ
2 =V ar(X)=I E((X − IE ( X))
2 )d ´ esigne la variance de X.
Exercice 4.21. Montrer le r´ esultat suivant, qui donne ´ egalement une estimation de l’erreur d’approximation, mais cette fois en norme L
2 :
IE
⎛
⎝
1
J
J
i=1
X i − IE ( X)
2 ⎞
⎠ ≤
σ
2
J
.