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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
paragraphe pr´ ec´ edent, que, par d´ efinition, `
a chaque instant t, et pour chaque
y fix´ e,
IE ( f (P (t),Q(t))) =
f (P, Q)ψ(P, Q, t) dP dQ
pour toute fonction f mesurable born´ ee. On admettra que ceci entraˆ ıne aussi,
dans les conditions o` u nous sommes, en choisissant f (a, b)=ab, que le tenseur
des contraintes s’´ ecrit, pour tout instant t, des deux fa¸ cons suivantes
τ (y, t)=n p K
I R 2
PQψ(t, y, P, Q) dP dQ = n p K IE ( P (y, t)Q(t)). (4.70)
C’est bien sˆ ur de la seconde fa¸ con que nous choisissons maintenant de le
calculer.
Remarque 4.20. Cette seconde vision des choses, qui revient aux processus
stochastiques plutˆ ot qu’` a leur loi, est en fait dans notre cas un juste retour
aux sources. Nous revenons `
al as i m u l a t i o nd ’ une halt` ere g´ en´ erique, dont le
vecteur bout-` a-bout a pour coordonn´ ees (P t ,Q t ) un couple de processus stochastiques dont l’´ evolution est r´ egie par une ´ equation diff´ erentielle stochastique. Le tenseur des contraintes s’´ evalue alors par une esp´ erance, c’est-` a-dire
dans la discr´ etisation par une moyenne sur les configurations des diff´ erents
polym` eres en un point de l’espace. Cette vision est tout-` a-fait naturelle dans
notre contexte.
On compl´ emente le syst` eme (4.69) de conditions initiales homog` enes en
y,e to nn o t eq u eQ ne d´ epend pas de la variable d’espace y. On utilise un
sch´ ema d’Euler explicite pour int´ egrer les deux EDS. On obtient ainsi un
syst` eme discret de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
P
n+1
i
= ∆t
U
n+1
i
− U
n+1
i−1
∆y
Q
n +
1 −
2K ∆t
ζ
P
n
i +
√
2∆tσ
ζ
V
n
i
Q
n+1 =
1 −
2K ∆t
ζ
Q
n +
√
2∆tσ
ζ
W
n
(4.71)
pour 1 ≤ i ≤ N ,o` u V
n
i et W
n repr´ esentent des variables gaussiennes centr´ ees
r´ eduites ind´ ependantes. Ainsi,
√
∆tV
n
i est une approximation discr` e t ed el a
variable al´ eatoire accroissement V t n +∆t − V t n dans la maille [
i − 1
N
,
i
N
[. On
´ evalue alors
τ
n+1
i
= n p K IE ( P
n+1
i
Q
n+1 )
(4.72)
Pour ´ evaluer la contrainte (τ
h ) i , on engendre en pratique J r´ ealisations des
variables al´ eatoires P
n
i et Q
n :
P
n+1
i,j
= ∆t
U
n+1
i
− U
n+1
i−1
∆y
Q j
n +
1 −
2K ∆t
ζ
P
n
i,j +
√
2∆tσ
ζ
V
n
i,j (4.73)
Q
n+1
j
=
1 −
2K ∆t
ζ
Q
n
j +
√
2∆tσ
ζ
W
n
j
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
paragraphe pr´ ec´ edent, que, par d´ efinition, `
a chaque instant t, et pour chaque
y fix´ e,
IE ( f (P (t),Q(t))) =
f (P, Q)ψ(P, Q, t) dP dQ
pour toute fonction f mesurable born´ ee. On admettra que ceci entraˆ ıne aussi,
dans les conditions o` u nous sommes, en choisissant f (a, b)=ab, que le tenseur
des contraintes s’´ ecrit, pour tout instant t, des deux fa¸ cons suivantes
τ (y, t)=n p K
I R 2
PQψ(t, y, P, Q) dP dQ = n p K IE ( P (y, t)Q(t)). (4.70)
C’est bien sˆ ur de la seconde fa¸ con que nous choisissons maintenant de le
calculer.
Remarque 4.20. Cette seconde vision des choses, qui revient aux processus
stochastiques plutˆ ot qu’` a leur loi, est en fait dans notre cas un juste retour
aux sources. Nous revenons `
al as i m u l a t i o nd ’ une halt` ere g´ en´ erique, dont le
vecteur bout-` a-bout a pour coordonn´ ees (P t ,Q t ) un couple de processus stochastiques dont l’´ evolution est r´ egie par une ´ equation diff´ erentielle stochastique. Le tenseur des contraintes s’´ evalue alors par une esp´ erance, c’est-` a-dire
dans la discr´ etisation par une moyenne sur les configurations des diff´ erents
polym` eres en un point de l’espace. Cette vision est tout-` a-fait naturelle dans
notre contexte.
On compl´ emente le syst` eme (4.69) de conditions initiales homog` enes en
y,e to nn o t eq u eQ ne d´ epend pas de la variable d’espace y. On utilise un
sch´ ema d’Euler explicite pour int´ egrer les deux EDS. On obtient ainsi un
syst` eme discret de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
P
n+1
i
= ∆t
U
n+1
i
− U
n+1
i−1
∆y
Q
n +
1 −
2K ∆t
ζ
P
n
i +
√
2∆tσ
ζ
V
n
i
Q
n+1 =
1 −
2K ∆t
ζ
Q
n +
√
2∆tσ
ζ
W
n
(4.71)
pour 1 ≤ i ≤ N ,o` u V
n
i et W
n repr´ esentent des variables gaussiennes centr´ ees
r´ eduites ind´ ependantes. Ainsi,
√
∆tV
n
i est une approximation discr` e t ed el a
variable al´ eatoire accroissement V t n +∆t − V t n dans la maille [
i − 1
N
,
i
N
[. On
´ evalue alors
τ
n+1
i
= n p K IE ( P
n+1
i
Q
n+1 )
(4.72)
Pour ´ evaluer la contrainte (τ
h ) i , on engendre en pratique J r´ ealisations des
variables al´ eatoires P
n
i et Q
n :
P
n+1
i,j
= ∆t
U
n+1
i
− U
n+1
i−1
∆y
Q j
n +
1 −
2K ∆t
ζ
P
n
i,j +
√
2∆tσ
ζ
V
n
i,j (4.73)
Q
n+1
j
=
1 −
2K ∆t
ζ
Q
n
j +
√
2∆tσ
ζ
W
n
j