4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
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Exercice 4.19. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = −
1
2
X t dt + dW t ,
(4.66)
pour la donn´ ee initiale X 0 , de loi la gaussienne centr´ ee r´ eduite. Montrer que
sa solution est donn´ ee par
X t = e
−t/2 X 0 +
t
0
e (s − t)/2 dW s ,
et v´ erifier que la loi de X t est la gaussienne centr´ ee r´ eduite. Montrer aussi que
l’´ equation de Fokker-Planck associ´ ee ` a (4.66) est
∂p(t, x)
∂t
−
1
2
∂
∂x
(xp(t, x)) −
1
2
∂
2
∂x 2 p(t, x)=0,
(4.67)
avec la donn´ ee initiale p(0,x)=
1
√
2π
e −x
2 /2 .V ´ erifier alors que le processus
constant gaussien centr´ er ´ eduit Y t = G a sa densit´ equiv ´ erifie (4.67) alors que
bien sˆ ur lui-mˆ eme ne v´ erifie pas l’´ equation diff´ erentielle stochastique (4.66).
Conclure.
Application ` a une m´ ethode alternative de discr´ etisation
On choisit d’´ evaluer τ (y, t), non pas via la r´ esolution de l’´ equation de FokkerPlanck
∂ψ
∂t
(t, y, P, Q)=−
∂
∂P
(
∂u
∂y
(y, t)Q −
2K
ζ
P ) ψ(t, y, P, Q)
+
∂
∂Q
2K
ζ
Qψ(t, y, P, Q)
+
σ
2
ζ 2
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, y, P, Q),
(4.68)
mais en simulant le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles stochastiques associ´ e,
qui s’´ ecrit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
dP (y, t)=
∂u
∂y
(y, t)Q(t) −
2K
ζ
P (y, t)
dt +
√
2 σ
ζ
dV t
dQ(t)= −
2K
ζ
Q(t)dt +
√
2 σ
ζ
dW t
(4.69)
o` u V t et W t sont deux mouvements browniens monodimensionnels ind´ ependants.
On peut alors montrer (cf. la section ci-dessus) que la densit´ e ψ(P, Q, t)de
la variable al´ eatoire (P (t),Q(t)) est solution de (4.68). On rappelle, d’apr` es le