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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
d’Itˆ o. Cette int´ egrale est construite ` al am a n i ` ere de l’int´ egrale de Riemann,
en la d´ efinissant d’abord pour les fonctions en escalier puis en approchant
une fonction plus g´ en´ erale par une suite de fonctions en escaliers. Pour un
d´ ecoupage {s 0 =0, ..., s j , ..., s n = t} de [0,t] et un processus
Y s (ω)=
n
j=1
˜
Y j−1 (ω)1 ]sj−1,sj ] (s)
bˆ ati avec des variables al´ eatoires ˜
Y j (telles que IE(| ˜
Y j |) < +∞), on pose
t
0
Y s dB s =
n
j=1
˜
Y j−1 (B sj − B sj−1 ).
Puis, par un proc´ ed´ e dit d’approximation, cela permet de d´ efinir un nouveau
processus stochastique, dit int´ egrale d’Itˆ o du processus (Y t ) 0≤t≤T
t
0
Y s dB s ,
d` es que
T
0
Y t (ω)
2 dt < +∞, pour presque tout ω (cette condition est par
exemple remplie d` es que Y t est un processus continu). Dans le cas simple o` u
Y t ≡ 1, on retrouve bien sˆ ur
t
0
dB s = B t .
Reprenons alors l’ensemble Ω = Ω 1 × Ω 2 introduit ci-dessus, une tribu F,
une filtration F t et un mouvement brownien F t -adapt´ e, not´ e B t .C o ns id ´ erons
de nouveau un drift r´ egulier f , mais aussi une dispersion qui est maintenant une fonction σ r´ eguli` ere (ayant typiquement les mˆ emes propri´ et´ es
math´ ematiques que celles mentionn´ ees ci-dessus pour f ). On introduit alors
l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = f (t, X t ) dt + σ(t, X t ) dB t ,
(4.64)
avec comme condition initiale la variable al´ eatoire X 0 (ω 1 ), d´ efinie sur Ω 1 .
Comme ci-dessus, il s’agit d’une ´ ecriture formelle. On dit que X t est solution
de (4.64) si
X t (ω 1 ,ω 2 )=X 0 (ω 1 )+
t
0
f (s, X s (ω 1 ,ω 2 )) ds +
t
0
σ(s, X s ) dB s
(ω 1 ,ω 2 ),
(4.65)
presque sˆ urement, la premi` ere int´ egrale s’entendant au sens habituel de Lebesgue, et la seconde au sens d’Itˆ o. Les ´ equations diff´ erentielles stochastiques
comme (4.65) font aujourd’hui l’objet d’une importante litt´ erature et apparaissent dans de nombreux champs de la mod´ elisation (l’un des plus c´ el` ebres
´ etant la finance math´ ematique).
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
d’Itˆ o. Cette int´ egrale est construite ` al am a n i ` ere de l’int´ egrale de Riemann,
en la d´ efinissant d’abord pour les fonctions en escalier puis en approchant
une fonction plus g´ en´ erale par une suite de fonctions en escaliers. Pour un
d´ ecoupage {s 0 =0, ..., s j , ..., s n = t} de [0,t] et un processus
Y s (ω)=
n
j=1
˜
Y j−1 (ω)1 ]sj−1,sj ] (s)
bˆ ati avec des variables al´ eatoires ˜
Y j (telles que IE(| ˜
Y j |) < +∞), on pose
t
0
Y s dB s =
n
j=1
˜
Y j−1 (B sj − B sj−1 ).
Puis, par un proc´ ed´ e dit d’approximation, cela permet de d´ efinir un nouveau
processus stochastique, dit int´ egrale d’Itˆ o du processus (Y t ) 0≤t≤T
t
0
Y s dB s ,
d` es que
T
0
Y t (ω)
2 dt < +∞, pour presque tout ω (cette condition est par
exemple remplie d` es que Y t est un processus continu). Dans le cas simple o` u
Y t ≡ 1, on retrouve bien sˆ ur
t
0
dB s = B t .
Reprenons alors l’ensemble Ω = Ω 1 × Ω 2 introduit ci-dessus, une tribu F,
une filtration F t et un mouvement brownien F t -adapt´ e, not´ e B t .C o ns id ´ erons
de nouveau un drift r´ egulier f , mais aussi une dispersion qui est maintenant une fonction σ r´ eguli` ere (ayant typiquement les mˆ emes propri´ et´ es
math´ ematiques que celles mentionn´ ees ci-dessus pour f ). On introduit alors
l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = f (t, X t ) dt + σ(t, X t ) dB t ,
(4.64)
avec comme condition initiale la variable al´ eatoire X 0 (ω 1 ), d´ efinie sur Ω 1 .
Comme ci-dessus, il s’agit d’une ´ ecriture formelle. On dit que X t est solution
de (4.64) si
X t (ω 1 ,ω 2 )=X 0 (ω 1 )+
t
0
f (s, X s (ω 1 ,ω 2 )) ds +
t
0
σ(s, X s ) dB s
(ω 1 ,ω 2 ),
(4.65)
presque sˆ urement, la premi` ere int´ egrale s’entendant au sens habituel de Lebesgue, et la seconde au sens d’Itˆ o. Les ´ equations diff´ erentielles stochastiques
comme (4.65) font aujourd’hui l’objet d’une importante litt´ erature et apparaissent dans de nombreux champs de la mod´ elisation (l’un des plus c´ el` ebres
´ etant la finance math´ ematique).