4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
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cadre d´ evelopp´ e ci-dessus est que nous allons travailler en dimension 2 au lieu
de 1.
Remarque 4.16. S’il est juste (sous les bonnes conditions ´ evoqu´ ees ci-dessus,
lesquelles reviennent grosso modo ` a supposer que la solution de l’´ equation
de Fokker-Planck est unique) que tout processus X t solution de l’´ equation
diff´ erentielle stochastique a sa densit´ equiv ´ erifie l’´ equation de Fokker-Planck,
la r´ eciproque est fausse, en toute g´ en´ eralit´ e : tout processus qui a pour densit´ e
p n’est pas forc´ ement solution de l’´ equation diff´ erentielle stochastique. Ainsi,
un contrexemple est fourni par l’Exercice 4.19. En fait, ceci se comprend en
gardant `
a l’esprit qu’il y a plus d’information dans le processus que dans
sa densit´ e, puisqu’on peut avec lui calculer plus que de simples esp´ erances
IE ( ϕ(X t )) (comme par exemple IE(ψ(X t ,X s ))). Il est donc “normal” qu’` a une
densit´ e correspondent beaucoup de processus. Si la densit´ e est une solution
d’une ´ equation de Fokker-Planck, il peut y avoir beaucoup de processus l’ayant
pour densit´ e et n’entretenant aucun rapport avec l’´ equation diff´ erentielle stochastique sous-jacente.
Remarque 4.17. Dans le cas qui nous int´ eresse, nous sommes seulement int´ eress´ es par les esp´ erances figurant dans la d´ efinition du tenseur des contraintes.
Elles sont les seules quantit´ es pertinentes du point de vue de la mod´ elisation.
Il y a donc toutes les raisons, au vu de la Remarque qui pr´ ec` ede, de se concentrer sur le point de vue Fokker-Planck et il peut alors paraˆ ıtre paradoxal de
faire appel `
a l’approche ´ equation diff´ erentielle stochastique qui privil´ egie un
processus particulier ayant cette densit´ e, ` as a v o i rl as o l u t i o nd el ’ ´ equation
diff´ erentielle stochastique. Seuls des aspects d’efficacit´ en u m ´ erique justifient
en fait un tel changement de point de vue.
Remarque 4.18. Nous n’avons volontairement rien dit de l’existence et de l’unicit´ e de la solution X t de l’´ equation diff´ erentielle stochastique. Il existe bien
sˆ ur tout un cadre th´ eorique qui formalise des th´ eor` emes d’existence et d’unicit´ e pour de telles ´ equations. En fait, pour l’unicit´ e, la bonne notion est le
plus souvent du point de vue pratique la notion d’unicit´ ee nl o i(aussi appel´ ee unicit´ ef a i b l e ), qui est vraie quand toutes les solutions X t donnent la
mˆ eme densit´ e p et donc les mˆ emes esp´ erances calcul´ ees. Peu importe en fait
le processus particulier X t .
En fait, il est utile de signaler que la pr´ esentation que nous venons de
faire d’une ´ equation diff´ erentielle stochastique est une pr´ esentation simplifi´ ee.
Consacrons quelques lignes `
a une pr´ esentation plus g´ en´ erale. Notre motivation est que pour d’autres mod` eles de polym` eres, comme ceux form´ es d’un
assemblage de barres rigides et non de ressorts, l’objet math´ ematique obtenu
lors de la mod´ elisation est bien une ´ equation diff´ erentielle stochastique mais
pas une de la forme simple (4.61).
A l’aide d’un mouvement brownien standard (de moyenne nulle (r =0 )
et de variance t (σ = 1)), not´ e B t , on peut construire la notion d’int´ egrale
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cadre d´ evelopp´ e ci-dessus est que nous allons travailler en dimension 2 au lieu
de 1.
Remarque 4.16. S’il est juste (sous les bonnes conditions ´ evoqu´ ees ci-dessus,
lesquelles reviennent grosso modo ` a supposer que la solution de l’´ equation
de Fokker-Planck est unique) que tout processus X t solution de l’´ equation
diff´ erentielle stochastique a sa densit´ equiv ´ erifie l’´ equation de Fokker-Planck,
la r´ eciproque est fausse, en toute g´ en´ eralit´ e : tout processus qui a pour densit´ e
p n’est pas forc´ ement solution de l’´ equation diff´ erentielle stochastique. Ainsi,
un contrexemple est fourni par l’Exercice 4.19. En fait, ceci se comprend en
gardant `
a l’esprit qu’il y a plus d’information dans le processus que dans
sa densit´ e, puisqu’on peut avec lui calculer plus que de simples esp´ erances
IE ( ϕ(X t )) (comme par exemple IE(ψ(X t ,X s ))). Il est donc “normal” qu’` a une
densit´ e correspondent beaucoup de processus. Si la densit´ e est une solution
d’une ´ equation de Fokker-Planck, il peut y avoir beaucoup de processus l’ayant
pour densit´ e et n’entretenant aucun rapport avec l’´ equation diff´ erentielle stochastique sous-jacente.
Remarque 4.17. Dans le cas qui nous int´ eresse, nous sommes seulement int´ eress´ es par les esp´ erances figurant dans la d´ efinition du tenseur des contraintes.
Elles sont les seules quantit´ es pertinentes du point de vue de la mod´ elisation.
Il y a donc toutes les raisons, au vu de la Remarque qui pr´ ec` ede, de se concentrer sur le point de vue Fokker-Planck et il peut alors paraˆ ıtre paradoxal de
faire appel `
a l’approche ´ equation diff´ erentielle stochastique qui privil´ egie un
processus particulier ayant cette densit´ e, ` as a v o i rl as o l u t i o nd el ’ ´ equation
diff´ erentielle stochastique. Seuls des aspects d’efficacit´ en u m ´ erique justifient
en fait un tel changement de point de vue.
Remarque 4.18. Nous n’avons volontairement rien dit de l’existence et de l’unicit´ e de la solution X t de l’´ equation diff´ erentielle stochastique. Il existe bien
sˆ ur tout un cadre th´ eorique qui formalise des th´ eor` emes d’existence et d’unicit´ e pour de telles ´ equations. En fait, pour l’unicit´ e, la bonne notion est le
plus souvent du point de vue pratique la notion d’unicit´ ee nl o i(aussi appel´ ee unicit´ ef a i b l e ), qui est vraie quand toutes les solutions X t donnent la
mˆ eme densit´ e p et donc les mˆ emes esp´ erances calcul´ ees. Peu importe en fait
le processus particulier X t .
En fait, il est utile de signaler que la pr´ esentation que nous venons de
faire d’une ´ equation diff´ erentielle stochastique est une pr´ esentation simplifi´ ee.
Consacrons quelques lignes `
a une pr´ esentation plus g´ en´ erale. Notre motivation est que pour d’autres mod` eles de polym` eres, comme ceux form´ es d’un
assemblage de barres rigides et non de ressorts, l’objet math´ ematique obtenu
lors de la mod´ elisation est bien une ´ equation diff´ erentielle stochastique mais
pas une de la forme simple (4.61).
A l’aide d’un mouvement brownien standard (de moyenne nulle (r =0 )
et de variance t (σ = 1)), not´ e B t , on peut construire la notion d’int´ egrale