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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
mesurable IE(1 A f (X t − X s )) = IE(f (X t − X s ))P(A)), et `
a accroissements stationnaires (si s ≤ t,l al o id eX t − X s est identique `
a celle de X t−s − X 0 ).
En fait ces trois propri´ et´ es impliquent conjointement (ce n’est pas imm´ ediat)
que la variable al´ eatoire X t − X 0 suit n´ ecessairement une loi gaussienne de
moyenne rt (pour un certain r)etdev arianceσ
2 t (pour un certain σ). Il n’est
pas ´ evident qu’un mouvement brownien existe, mais c’est vrai.
La derni` ere ´ etape des ´ el´ ements de th´ eorie des probabilit´ e sq u en o u sd o n -
nerons ici concerne les ´ equations diff´ erentielles stochastiques, et cette ´ etape
n’est en fait pas un rappel, car le niveau de ces notions d´ epasse largement le
cadre de ce cours, et d’un cours de deuxi` eme cycle de probabilit´ es.
Consid´ erons un ensemble Ω = Ω 1 ×Ω 2 (Ω 1 sera l’espace du hasard pour la
donn´ ee initiale, Ω 2 l’espace du hasard pour les trajectoires browniennes dans le
temps), muni d’une probabilit´ e P (produit de deux probabilit´ es sur Ω 1 et Ω 2 ).
Consid´ erons aussi une tribu F, une filtration F t et un mouvement brownien
F t -adapt´ e, not´ e B t .S o i tσ>0 une constante fix´ ee, appel´ ee dispersion.S o i t
f (t, x) une fonction r´ eguli` ere, souvent appel´ ee drift (ou d´ erive en fran¸ cais). Le
cadre math´ ematique naturel est f mesurable par rapport `
a t, et lipschitzienne
et ` a croissance au plus lin´ eaire (i.e. |f (t, x)|≤C(1 + |x|) pour tout t, x)p a r
rapport `
a x, la constante de Lipschitz et la constante C ´ etant uniforme en
t ∈ [0,T]. On introduit alors l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = f (t, X t ) dt + σdB t ,
(4.61)
avec comme condition initiale la variable al´ eatoire X 0 (ω 1 ), d´ efinie sur Ω 1 .
Cette ´ ecriture (4.61) est formelle. Elle a le sens math´ ematique suivant : on dit
que X t est solution de (4.61) si
X t (ω 1 ,ω 2 )=X 0 (ω 1 )+
t
0
f (s, X s (ω 1 ,ω 2 )) ds + σB t (ω 2 ),
(4.62)
presque sˆ urement, l’int´ egrale s’entendant au sens habituel de Lebesgue.
Nous sommes alors (enfin !) en mesure d’´ enoncer la propri´ et´ e capitale pour
notre m´ ethode de r´ esolution.
Sous de bonnes hypoth` eses, si X t est solution de l’´ equation diff´ erentielle
stochastique (4.61) alors la densit´ ed eX t ,n o t ´ ee p(t, x), est solution de
l’´ equation de Fokker Planck
∂p
∂t
(t, x)+
∂
∂x
(f (t, x) p(t, x)) −
σ
2
2
∂
2 p
∂x 2 (t, x)=0.
(4.63)
Bien sˆ ur, pour que ceci ait lieu, il faut que les donn´ ees initiales des deux
´ equations se correspondent, `
as a v o i rq u ep(t =0 ,x)s o i tfi x ´ ee ` al av a l e u rp 0
densit´ edelav ariableal´ eatoire X 0 donn´ ee initiale pour l’´ equation diff´ erentielle
stochastique.
Nous allons utiliser ce changement de point de vue pour bˆ atir notre
deuxi` eme m´ ethode de discr´ etisation. La seule petite nuance par rapport au
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
mesurable IE(1 A f (X t − X s )) = IE(f (X t − X s ))P(A)), et `
a accroissements stationnaires (si s ≤ t,l al o id eX t − X s est identique `
a celle de X t−s − X 0 ).
En fait ces trois propri´ et´ es impliquent conjointement (ce n’est pas imm´ ediat)
que la variable al´ eatoire X t − X 0 suit n´ ecessairement une loi gaussienne de
moyenne rt (pour un certain r)etdev arianceσ
2 t (pour un certain σ). Il n’est
pas ´ evident qu’un mouvement brownien existe, mais c’est vrai.
La derni` ere ´ etape des ´ el´ ements de th´ eorie des probabilit´ e sq u en o u sd o n -
nerons ici concerne les ´ equations diff´ erentielles stochastiques, et cette ´ etape
n’est en fait pas un rappel, car le niveau de ces notions d´ epasse largement le
cadre de ce cours, et d’un cours de deuxi` eme cycle de probabilit´ es.
Consid´ erons un ensemble Ω = Ω 1 ×Ω 2 (Ω 1 sera l’espace du hasard pour la
donn´ ee initiale, Ω 2 l’espace du hasard pour les trajectoires browniennes dans le
temps), muni d’une probabilit´ e P (produit de deux probabilit´ es sur Ω 1 et Ω 2 ).
Consid´ erons aussi une tribu F, une filtration F t et un mouvement brownien
F t -adapt´ e, not´ e B t .S o i tσ>0 une constante fix´ ee, appel´ ee dispersion.S o i t
f (t, x) une fonction r´ eguli` ere, souvent appel´ ee drift (ou d´ erive en fran¸ cais). Le
cadre math´ ematique naturel est f mesurable par rapport `
a t, et lipschitzienne
et ` a croissance au plus lin´ eaire (i.e. |f (t, x)|≤C(1 + |x|) pour tout t, x)p a r
rapport `
a x, la constante de Lipschitz et la constante C ´ etant uniforme en
t ∈ [0,T]. On introduit alors l’´ equation diff´ erentielle stochastique
dX t = f (t, X t ) dt + σdB t ,
(4.61)
avec comme condition initiale la variable al´ eatoire X 0 (ω 1 ), d´ efinie sur Ω 1 .
Cette ´ ecriture (4.61) est formelle. Elle a le sens math´ ematique suivant : on dit
que X t est solution de (4.61) si
X t (ω 1 ,ω 2 )=X 0 (ω 1 )+
t
0
f (s, X s (ω 1 ,ω 2 )) ds + σB t (ω 2 ),
(4.62)
presque sˆ urement, l’int´ egrale s’entendant au sens habituel de Lebesgue.
Nous sommes alors (enfin !) en mesure d’´ enoncer la propri´ et´ e capitale pour
notre m´ ethode de r´ esolution.
Sous de bonnes hypoth` eses, si X t est solution de l’´ equation diff´ erentielle
stochastique (4.61) alors la densit´ ed eX t ,n o t ´ ee p(t, x), est solution de
l’´ equation de Fokker Planck
∂p
∂t
(t, x)+
∂
∂x
(f (t, x) p(t, x)) −
σ
2
2
∂
2 p
∂x 2 (t, x)=0.
(4.63)
Bien sˆ ur, pour que ceci ait lieu, il faut que les donn´ ees initiales des deux
´ equations se correspondent, `
as a v o i rq u ep(t =0 ,x)s o i tfi x ´ ee ` al av a l e u rp 0
densit´ edelav ariableal´ eatoire X 0 donn´ ee initiale pour l’´ equation diff´ erentielle
stochastique.
Nous allons utiliser ce changement de point de vue pour bˆ atir notre
deuxi` eme m´ ethode de discr´ etisation. La seule petite nuance par rapport au