4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
155
p(x)=
1
σ
√
2π
e
−
(x−m) 2
2σ 2
de moyenne m et de variance σ
2 . On dit alors que la variable al´ eatoire X
est gaussienne. L’esp´ erance vaut IE(X)=m et la variance est Var (X)=
IE ( ( X − IE ( X))
2 )=I E(X
2 ) − (IE(X))
2 = σ
2 .
En pratique, l’esp´ erance de la variable al´ eatoire X peut ˆ etre approch´ ee (on
parle de m´ ethode de Monte-Carlo) en moyennant les valeurs de X,t r o u v ´ ees
par un tirage au sort suivant la loi de X. La fondation de cette pratique est
la Loi forte des grands nombres :s i( X i ,i ≥ 1) est une suite de variables
al´ eatoires ind´ ependantes, toutes de mˆ eme loi que la variable al´ eatoire X,e t
si IE(|X|) < ∞, alors pour presque tout ω,
IE ( X) = lim
n−→ +∞
X 1 (ω)+... + X n (ω)
n
.
Le Th´ eor` eme de la limite centrale pr´ ecise la qualit´ e de cette convergence
en stipulant que, sous les mˆ emes conditions et la condition suppl´ ementaire
IE ( X
2 ) < ∞,l av a r i a b l ea l ´ eatoire d´ efinie par
√
n
σ
X 1 (ω)+... + X n (ω)
n
− IE ( X)
(o` u σ d´ esigne la variance de X) converge en loi vers une variable al´ eatoire G,la
loi de G ´ etant la loi gaussienne centr´ ee r´ eduite p(x)=
1
√
2π
e
−
x 2
2 .R a p p e l o n s
qu’une suite de variables al´ eatoires Y n converge en loi vers G si IE(f (Y n ))
tend vers IE(f (G)) pour toute fonction f continue born´ ee. Ce r´ esultat explique ´ evidemment le rˆ ole crucial jou´ e par la loi gaussienne en th´ eorie des
probabilit´ es.
Introduisons maintenant une d´ ependance en temps des objets ci-dessus.
Un processus stochastique (` a temps continu et `
av a l e u r sr ´ eelles) est une
famille (X t ) t≥0 de variables al´ eatoires indic´ ees par le temps, d´ efinies sur un
espace de probabilit´ e( Ω, A, P).
Une filtration (F t ,t ≥ 0) est une suite croissante, indic´ ee par le temps,
de sous tribus de la tribu A. Un processus stochastique X t est dit F t -adapt´ e
si, pour chaque t, X t est une variable al´ eatoire mesurable par rapport `
a F t .
A l’inverse, un processus stochastique X t ´ etant fix´ e, la filtration naturelle
associ´ ee ` a X t est la filtration F t form´ ee, pour chaque t ≥ 0, de la plus petite
tribu rendant les applications ω −→ X s (ω) mesurables pour 0 ≤ s ≤ t.
On peut maintenant d´ efinir la notion de mouvement brownien. Un processus (` av a l e u r sr ´ eelles) X t est un mouvement brownien si c’est un processus
`
a trajectoires presque sˆ urement continues (i.e. en dehors d’un ensemble de
probabilit´ e nulle, les fonctions s −→ X s (ω) sont continues), `
a accroissements
ind´ ependants (si s ≤ t,l av a r i a b l ea l ´ eatoire X t − X s est ind´ ependante de
la tribu “naturelle” F s , i.e. pour tout A ∈F s , et toute fonction f born´ ee
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p(x)=
1
σ
√
2π
e
−
(x−m) 2
2σ 2
de moyenne m et de variance σ
2 . On dit alors que la variable al´ eatoire X
est gaussienne. L’esp´ erance vaut IE(X)=m et la variance est Var (X)=
IE ( ( X − IE ( X))
2 )=I E(X
2 ) − (IE(X))
2 = σ
2 .
En pratique, l’esp´ erance de la variable al´ eatoire X peut ˆ etre approch´ ee (on
parle de m´ ethode de Monte-Carlo) en moyennant les valeurs de X,t r o u v ´ ees
par un tirage au sort suivant la loi de X. La fondation de cette pratique est
la Loi forte des grands nombres :s i( X i ,i ≥ 1) est une suite de variables
al´ eatoires ind´ ependantes, toutes de mˆ eme loi que la variable al´ eatoire X,e t
si IE(|X|) < ∞, alors pour presque tout ω,
IE ( X) = lim
n−→ +∞
X 1 (ω)+... + X n (ω)
n
.
Le Th´ eor` eme de la limite centrale pr´ ecise la qualit´ e de cette convergence
en stipulant que, sous les mˆ emes conditions et la condition suppl´ ementaire
IE ( X
2 ) < ∞,l av a r i a b l ea l ´ eatoire d´ efinie par
√
n
σ
X 1 (ω)+... + X n (ω)
n
− IE ( X)
(o` u σ d´ esigne la variance de X) converge en loi vers une variable al´ eatoire G,la
loi de G ´ etant la loi gaussienne centr´ ee r´ eduite p(x)=
1
√
2π
e
−
x 2
2 .R a p p e l o n s
qu’une suite de variables al´ eatoires Y n converge en loi vers G si IE(f (Y n ))
tend vers IE(f (G)) pour toute fonction f continue born´ ee. Ce r´ esultat explique ´ evidemment le rˆ ole crucial jou´ e par la loi gaussienne en th´ eorie des
probabilit´ es.
Introduisons maintenant une d´ ependance en temps des objets ci-dessus.
Un processus stochastique (` a temps continu et `
av a l e u r sr ´ eelles) est une
famille (X t ) t≥0 de variables al´ eatoires indic´ ees par le temps, d´ efinies sur un
espace de probabilit´ e( Ω, A, P).
Une filtration (F t ,t ≥ 0) est une suite croissante, indic´ ee par le temps,
de sous tribus de la tribu A. Un processus stochastique X t est dit F t -adapt´ e
si, pour chaque t, X t est une variable al´ eatoire mesurable par rapport `
a F t .
A l’inverse, un processus stochastique X t ´ etant fix´ e, la filtration naturelle
associ´ ee ` a X t est la filtration F t form´ ee, pour chaque t ≥ 0, de la plus petite
tribu rendant les applications ω −→ X s (ω) mesurables pour 0 ≤ s ≤ t.
On peut maintenant d´ efinir la notion de mouvement brownien. Un processus (` av a l e u r sr ´ eelles) X t est un mouvement brownien si c’est un processus
`
a trajectoires presque sˆ urement continues (i.e. en dehors d’un ensemble de
probabilit´ e nulle, les fonctions s −→ X s (ω) sont continues), `
a accroissements
ind´ ependants (si s ≤ t,l av a r i a b l ea l ´ eatoire X t − X s est ind´ ependante de
la tribu “naturelle” F s , i.e. pour tout A ∈F s , et toute fonction f born´ ee