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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
sujets, ou seulement int´ eress´ ep a rl ec ˆ ot´ ef o r m e le tp r ˆ et ` a faire confiance peut
ais´ ement omettre les lignes qui suivent et se reporter directement ` al as o u s
section 4.3.4. Comme d’habitude dans ce cours, on insiste sur le fait que la
sous section 4.3.4 ne se substitue pas `
a un authentique cours de Probabilit´ es.
Notions rapides de th´ eorie des probabilit´ es
Soit Ω un ensemble (figurant l’espace du hasard), et A un sous-ensemble de
l’ensemble P(Ω)d e sp a r t i e sd eΩ. On dit que A (qui figure alors l’information disponible) est une tribu si A est stable par intersection et r´ eunion
d´ enombrables, par passage au compl´ ementaire et si elle contient les ´ el´ ements
∅ et Ω. Sur un ensemble Ω muni d’une tribu A,onpeutd ´ efinir une probabilit´ e
P, c’est-` a-dire une mesure positive de masse totale 1 d´ efinie sur A.R a p p e -
lons qu’une mesure (positive) sur Ω est une fonction de Ω dans IR + ∪{+∞}
telle que P(∅)=0etP(∪
+∞
i=1 A i )=
+∞
i=1
P(A i ) pour toute famille d´ enombrable
d’´ el´ ements A i de A disjoints deux `
a deux. On dit qu’une propri´ et´ e est v´ erifi´ ee
presque sˆ urement si l’ensemble des ω ∈ Ω pour lesquels elle n’est pas v´ erifi´ ee
est de mesure nulle pour P. Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un e s p a c ed ep r o b a -
bilit´ e.
On peut alors d´ efinir la notion de variable al´ eatoire (` av aleursr ´ eelles) : on
appelle ainsi une application X de Ω dans IR mesurable par rapport `
alatribu
A, c’est-` a-dire que pour tout bor´ elien B de IR, l’ensemble {ω ∈ Ω/X(ω) ∈ B}
appartient `
a A.P o u rc h a q u eω ∈ Ω, X(ω) est une r´ ealisation de la variable
al´ eatoire X.L aloi de X est la mesure P ◦ X
−1 d´ efinie par
IE ( f (X)) =
f (x)d(P ◦ X
−1 )(x),
pour toute f born´ ee.
L’esp´ erance de la variable al´ eatoire X (d’abord construite pour les variables al´ eatoires positives, puis ´ etendue aux variables al´ eatoires de signe quelconque pourvu que l’esp´ erance de leur valeur absolue existe) est d´ efinie par
IE ( X)=
Ω
X(ω) dP(ω)
On dit alors que la variable al´ eatoire X admet (par rapport `
al am e s u r e
de Lebesgue) une densit´ e, p(x) (fonction positive int´ egrable, d’int´ egrale sur IR
´ egale ` a 1), si pour toute fonction born´ ee mesurable f ,o na
IE ( f (X)) =
I R
f (x) p(x) dx.
La loi de X s’´ ecrit donc p(x) dx. Une des densit´ es les plus c´ el` ebres est la
densit´ e gaussienne
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
sujets, ou seulement int´ eress´ ep a rl ec ˆ ot´ ef o r m e le tp r ˆ et ` a faire confiance peut
ais´ ement omettre les lignes qui suivent et se reporter directement ` al as o u s
section 4.3.4. Comme d’habitude dans ce cours, on insiste sur le fait que la
sous section 4.3.4 ne se substitue pas `
a un authentique cours de Probabilit´ es.
Notions rapides de th´ eorie des probabilit´ es
Soit Ω un ensemble (figurant l’espace du hasard), et A un sous-ensemble de
l’ensemble P(Ω)d e sp a r t i e sd eΩ. On dit que A (qui figure alors l’information disponible) est une tribu si A est stable par intersection et r´ eunion
d´ enombrables, par passage au compl´ ementaire et si elle contient les ´ el´ ements
∅ et Ω. Sur un ensemble Ω muni d’une tribu A,onpeutd ´ efinir une probabilit´ e
P, c’est-` a-dire une mesure positive de masse totale 1 d´ efinie sur A.R a p p e -
lons qu’une mesure (positive) sur Ω est une fonction de Ω dans IR + ∪{+∞}
telle que P(∅)=0etP(∪
+∞
i=1 A i )=
+∞
i=1
P(A i ) pour toute famille d´ enombrable
d’´ el´ ements A i de A disjoints deux `
a deux. On dit qu’une propri´ et´ e est v´ erifi´ ee
presque sˆ urement si l’ensemble des ω ∈ Ω pour lesquels elle n’est pas v´ erifi´ ee
est de mesure nulle pour P. Le triplet (Ω, A, P) s’appelle un e s p a c ed ep r o b a -
bilit´ e.
On peut alors d´ efinir la notion de variable al´ eatoire (` av aleursr ´ eelles) : on
appelle ainsi une application X de Ω dans IR mesurable par rapport `
alatribu
A, c’est-` a-dire que pour tout bor´ elien B de IR, l’ensemble {ω ∈ Ω/X(ω) ∈ B}
appartient `
a A.P o u rc h a q u eω ∈ Ω, X(ω) est une r´ ealisation de la variable
al´ eatoire X.L aloi de X est la mesure P ◦ X
−1 d´ efinie par
IE ( f (X)) =
f (x)d(P ◦ X
−1 )(x),
pour toute f born´ ee.
L’esp´ erance de la variable al´ eatoire X (d’abord construite pour les variables al´ eatoires positives, puis ´ etendue aux variables al´ eatoires de signe quelconque pourvu que l’esp´ erance de leur valeur absolue existe) est d´ efinie par
IE ( X)=
Ω
X(ω) dP(ω)
On dit alors que la variable al´ eatoire X admet (par rapport `
al am e s u r e
de Lebesgue) une densit´ e, p(x) (fonction positive int´ egrable, d’int´ egrale sur IR
´ egale ` a 1), si pour toute fonction born´ ee mesurable f ,o na
IE ( f (X)) =
I R
f (x) p(x) dx.
La loi de X s’´ ecrit donc p(x) dx. Une des densit´ es les plus c´ el` ebres est la
densit´ e gaussienne