4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
153
temps t n = n∆t. On introduit le coefficient µ = c
∆t
∆P
,ditnombre de Courant.
Montrer que le sch´ ema de Lax-Wendroff poss` ede la propri´ et´ e suivante, dite
principe du maximum discret,
a ≤ ψ
0
j ≤ b, ∀j
implique
a ≤ ψ
n
j ≤ b, ∀n ≥ 0, ∀j,
(4.58)
(pour deux constantes arbitraires a et b) seulement quand µ = −1, 0, ou
1. Expliquer pourquoi il est naturel d’exiger le principe du maximum discret
pour un sch´ ema ayant pour objectif de simuler l’´ equation d’advection lin´ eaire.
Exercice 4.14. On s’int´ eresse ` a la discr´ etisation de l’´ equation de diffusion
∂ψ
∂t
(t, P, Q)=a
∂
2
∂P 2 ψ(t, P, Q).
Montrer que le sch´ ema de Richardson
ψ
n+1
j
− ψ
n−1
j
2∆t
− a
ψ
n
j+1 − 2ψ
n
j + ψ
n
j−1
(∆P ) 2
=0,
(4.59)
ne pr´ eserve pas le principe du maximum, alors que le sch´ ema de DufortFrankel
ψ
n+1
j
− ψ
n−1
j
2∆t
− a
ψ
n
j+1 − ψ
n+1
j
− ψ
n−1
j
+ ψ
n
j−1
(∆P ) 2
= 0
(4.60)
le pr´ eserve si
a∆t
(∆P ) 2 ≤
1
2
.
Remarque 4.15. L’enseignement des exercices ci-dessus n’ e s t pa s que nous ne
devons pas ici employer un sch´ ema comme par exemple celui de Lax-Wendroff,
mais plutˆ ot qu’il faudra ˆ etre vigilant sur la positivit´ ed eψ si on l’emploie.
4.3.4 La discr´ etisation du probl` eme microscopique : M´ ethode 2
Comme nous l’avons laiss´ e entendre ci-dessus, les techniques de discr´ etisation
par diff´ erences finies et ´ el´ ements finis sont tr` es vite mises en ´ echec sur une
´ equation du type (4.51) quand la dimension ambiante (ici 2) devient ´ egale ` a4,
5 ou plus. Elles deviennent inaccessibles au del` a de la dimension 6 (certaines
recherches en cours visent ` at e m p ´ erer ce constat). Sur notre cas simple bidimensionnel, nous d´ eveloppons maintenant une m´ ethode de discr´ etisation qui
est, elle, “insensible” ` a l’accroissement de la dimension : sa mise en oeuvre
est quasiment ind´ ependante de la dimension, et son coˆ ut en termes de temps
calcul est lin´ eaire par rapport `
a la dimension. En une phrase, disons que cette
m´ ethode consiste ` a´ evaluer τ (y, t), non pas via la r´ esolution de l’´ equation
de Fokker-Planck, mais en simulant le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles stochastiques associ´ ees. Pour d´ ecrire cette nouvelle m´ ethode, nous devons donc
faire de brefs rappels de th´ eorie des probabilit´ es. Le lecteur savant sur de tels
153
temps t n = n∆t. On introduit le coefficient µ = c
∆t
∆P
,ditnombre de Courant.
Montrer que le sch´ ema de Lax-Wendroff poss` ede la propri´ et´ e suivante, dite
principe du maximum discret,
a ≤ ψ
0
j ≤ b, ∀j
implique
a ≤ ψ
n
j ≤ b, ∀n ≥ 0, ∀j,
(4.58)
(pour deux constantes arbitraires a et b) seulement quand µ = −1, 0, ou
1. Expliquer pourquoi il est naturel d’exiger le principe du maximum discret
pour un sch´ ema ayant pour objectif de simuler l’´ equation d’advection lin´ eaire.
Exercice 4.14. On s’int´ eresse ` a la discr´ etisation de l’´ equation de diffusion
∂ψ
∂t
(t, P, Q)=a
∂
2
∂P 2 ψ(t, P, Q).
Montrer que le sch´ ema de Richardson
ψ
n+1
j
− ψ
n−1
j
2∆t
− a
ψ
n
j+1 − 2ψ
n
j + ψ
n
j−1
(∆P ) 2
=0,
(4.59)
ne pr´ eserve pas le principe du maximum, alors que le sch´ ema de DufortFrankel
ψ
n+1
j
− ψ
n−1
j
2∆t
− a
ψ
n
j+1 − ψ
n+1
j
− ψ
n−1
j
+ ψ
n
j−1
(∆P ) 2
= 0
(4.60)
le pr´ eserve si
a∆t
(∆P ) 2 ≤
1
2
.
Remarque 4.15. L’enseignement des exercices ci-dessus n’ e s t pa s que nous ne
devons pas ici employer un sch´ ema comme par exemple celui de Lax-Wendroff,
mais plutˆ ot qu’il faudra ˆ etre vigilant sur la positivit´ ed eψ si on l’emploie.
4.3.4 La discr´ etisation du probl` eme microscopique : M´ ethode 2
Comme nous l’avons laiss´ e entendre ci-dessus, les techniques de discr´ etisation
par diff´ erences finies et ´ el´ ements finis sont tr` es vite mises en ´ echec sur une
´ equation du type (4.51) quand la dimension ambiante (ici 2) devient ´ egale ` a4,
5 ou plus. Elles deviennent inaccessibles au del` a de la dimension 6 (certaines
recherches en cours visent ` at e m p ´ erer ce constat). Sur notre cas simple bidimensionnel, nous d´ eveloppons maintenant une m´ ethode de discr´ etisation qui
est, elle, “insensible” ` a l’accroissement de la dimension : sa mise en oeuvre
est quasiment ind´ ependante de la dimension, et son coˆ ut en termes de temps
calcul est lin´ eaire par rapport `
a la dimension. En une phrase, disons que cette
m´ ethode consiste ` a´ evaluer τ (y, t), non pas via la r´ esolution de l’´ equation
de Fokker-Planck, mais en simulant le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles stochastiques associ´ ees. Pour d´ ecrire cette nouvelle m´ ethode, nous devons donc
faire de brefs rappels de th´ eorie des probabilit´ es. Le lecteur savant sur de tels