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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
la technique de s´ eparation va s’imposer. En fait, tr` es vite, l’attaque directe
de (4.51) par une m´ ethode de diff´ erences finies (ou, le constat serait le mˆ eme,
par une m´ ethode d’´ el´ ements finis) devient impossible. D’o` ul an ´ ecessit´ e d’une
approche alternative, qui sera expliqu´ ee dans la sous-section suivante.
Revenons pour le moment `
a notre simple cas de la dimension 2. Nous avons
donc ramen´ eleprobl` eme de la simulation de (4.51) par diff´ erences finies ` a une
succession d’´ equations d’advection ou de diffusion monodimensionnelles. Il
existe beaucoup de techniques pour r´ ealiser les discr´ etisations par diff´ erences
finies de ces ´ equations. Le lecteur se reportera `
a la bibliographie. On donne
seulement ici un exercice sur une discr´ etisation de l’´ equation de diffusion, puis
on s’int´ eresse ` a une sp´ ecificit´ el i ´ ee ` an o t r em o d ´ elisation.
Exercice 4.12. On suppose que la solution ψ(t, P )d el ’ ´ equation de diffusion
∂ψ
∂t
(t, P )=a
∂
2
∂P 2 ψ(t, P )
(avec donn´ ee initiale ψ 0 et donn´ ee au bord nulle) est de classe C
4 .M o n t r e rl a
convergence du sch´ ema implicite
ψ
n+1
j
− ψ
n
j
∆t
− a
ψ
n+1
j+1 − 2ψ
n+1
j
+ ψ
n+1
j−1
(∆P ) 2
=0.
Les deux exercices suivants ´ etudient comment une propri´ et´ e particuli` erement importante dans notre cas est ou non assur´ ee par les sch´ emas num´ eriques employ´ es. Cette propri´ et´ e est la propri´ et´ ed epositivit´ e de ψ.E ne ff e t ,
par rapport `
a une situation g´ en´ erique o` uo nr ´ esout une ´ equation du type
advection-diffusion, la particularit´ e de notre probl` eme r´ eside en ce que, par
construction, ψ est une densit´ e de probabilit´ e (cf. (4.14)), ce qui signifie que,
pour tout temps, ψ ≥ 0p a r t o u te t
ψ = 1. La discr´ etis´ ee de ψ doit donc
conserver les deux mˆ emes propri´ et´ es au cours du temps dans la simulation
num´ erique. C’est ` alapremi` ere exigence que nous nous int´ eressons. La seconde,
qui est une exigence globale (contrairement `
alapremi ` ere qui est locale) est en
fait beaucoup plus dure `
a assurer de fa¸ con rigoureuse, et on proc` ede souvent
par une renormalisation pour l’assurer.
Exercice 4.13. Le sch´ ema de Lax-Wendroff pour l’´ equation d’advection
lin´ eaire
∂ψ
∂t
+ c
∂ψ
∂P
=0
s’´ ecrit
ψ
n+1
j
− ψ
n
j
∆t
+ c
ψ
n
j+1 − ψ
n
j−1
2∆P
− c
2 ∆t
2
ψ
n
j+1 − 2ψ
n
j + ψ
n
j−1
(∆P ) 2
=0,
(4.57)
o` u ∆P et ∆t d´ esignent respectivement les pas d’espace et de temps de la
discr´ etisation par diff´ erences finies, et ψ
n
j la valeur au noeud P j = j∆P au
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
la technique de s´ eparation va s’imposer. En fait, tr` es vite, l’attaque directe
de (4.51) par une m´ ethode de diff´ erences finies (ou, le constat serait le mˆ eme,
par une m´ ethode d’´ el´ ements finis) devient impossible. D’o` ul an ´ ecessit´ e d’une
approche alternative, qui sera expliqu´ ee dans la sous-section suivante.
Revenons pour le moment `
a notre simple cas de la dimension 2. Nous avons
donc ramen´ eleprobl` eme de la simulation de (4.51) par diff´ erences finies ` a une
succession d’´ equations d’advection ou de diffusion monodimensionnelles. Il
existe beaucoup de techniques pour r´ ealiser les discr´ etisations par diff´ erences
finies de ces ´ equations. Le lecteur se reportera `
a la bibliographie. On donne
seulement ici un exercice sur une discr´ etisation de l’´ equation de diffusion, puis
on s’int´ eresse ` a une sp´ ecificit´ el i ´ ee ` an o t r em o d ´ elisation.
Exercice 4.12. On suppose que la solution ψ(t, P )d el ’ ´ equation de diffusion
∂ψ
∂t
(t, P )=a
∂
2
∂P 2 ψ(t, P )
(avec donn´ ee initiale ψ 0 et donn´ ee au bord nulle) est de classe C
4 .M o n t r e rl a
convergence du sch´ ema implicite
ψ
n+1
j
− ψ
n
j
∆t
− a
ψ
n+1
j+1 − 2ψ
n+1
j
+ ψ
n+1
j−1
(∆P ) 2
=0.
Les deux exercices suivants ´ etudient comment une propri´ et´ e particuli` erement importante dans notre cas est ou non assur´ ee par les sch´ emas num´ eriques employ´ es. Cette propri´ et´ e est la propri´ et´ ed epositivit´ e de ψ.E ne ff e t ,
par rapport `
a une situation g´ en´ erique o` uo nr ´ esout une ´ equation du type
advection-diffusion, la particularit´ e de notre probl` eme r´ eside en ce que, par
construction, ψ est une densit´ e de probabilit´ e (cf. (4.14)), ce qui signifie que,
pour tout temps, ψ ≥ 0p a r t o u te t
ψ = 1. La discr´ etis´ ee de ψ doit donc
conserver les deux mˆ emes propri´ et´ es au cours du temps dans la simulation
num´ erique. C’est ` alapremi` ere exigence que nous nous int´ eressons. La seconde,
qui est une exigence globale (contrairement `
alapremi ` ere qui est locale) est en
fait beaucoup plus dure `
a assurer de fa¸ con rigoureuse, et on proc` ede souvent
par une renormalisation pour l’assurer.
Exercice 4.13. Le sch´ ema de Lax-Wendroff pour l’´ equation d’advection
lin´ eaire
∂ψ
∂t
+ c
∂ψ
∂P
=0
s’´ ecrit
ψ
n+1
j
− ψ
n
j
∆t
+ c
ψ
n
j+1 − ψ
n
j−1
2∆P
− c
2 ∆t
2
ψ
n
j+1 − 2ψ
n
j + ψ
n
j−1
(∆P ) 2
=0,
(4.57)
o` u ∆P et ∆t d´ esignent respectivement les pas d’espace et de temps de la
discr´ etisation par diff´ erences finies, et ψ
n
j la valeur au noeud P j = j∆P au