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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Dans ce syst` eme alg´ ebrique, le terme de contrainte (dernier terme de (4.46))
apparaˆ ıt sous la forme du produit matrice× vecteur GS
n o` u S
n est le vecteur
colonne des (τ
h )
n
j , j =1, ..., N et G la matrice de taille N − 1 × N
G =
1
0
∂ y ϕ i χ j
.
(4.50)
Les autres matrices et vecteurs apparaissant dans (4.49) sont faciles ` ad ´ eterminer.
Exercice 4.11. Identifier les matrices M et A en termes des fonctions χ i et
ϕ i , ainsi que le vecteur colonne B
n .
Pour r´ esoudre (4.49) et d´ eterminer U
n+1 pour chaque n, il nous faut maintenant expliquer comment mettre `
aj o u rS
n en S
n+1 , i.e. ´ evaluer (τ
h )
n+1
j
pour chaque j, ce qui correspond au niveau continu `
a´ evaluer le tenseur des
contraintes en un point macroscopique en fonction du niveau microscopique.
Nous allons faire ceci par deux m´ ethodes diff´ erentes.
4.3.3 La discr´ etisation du probl` eme microscopique : M´ ethode 1
Nous nous int´ eressons maintenant `
a la discr´ etisation de la deuxi` eme ´ equation
d’´ evolution de (4.35), `
as a v o i r
∂ψ
∂t
(t, y, P, Q)=−
∂
∂P
(
∂u
∂y
(y, t)Q −
2K
ζ
P ) ψ(t, y, P, Q)
+
∂
∂Q
2K
ζ
Qψ(t, y, P, Q)
+
σ
2
ζ 2
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, y, P, Q).
(4.51)
Il faut bien comprendre que dans cette ´ equation la variable y est un param` etre, au sens o` u il y a (au niveau continu) autant d’´ equations que de
points y et que les op´ erateurs diff´ erentiels ne portent pas sur cette variable
d’espace physique mais sur les variables d’espace (P, Q) qui sont l’espace de
configuration pour l’halt` ere.
Plus pr´ ecis´ ement, au niveau discret, il y a, dans notre cas, N ´ equations de
la forme (4.51), chacune d’entre elles ´ etant associ´ ee ` a un intervalle [
i−1
N ,
i
N ](et
donc `
a une fonction de base χ i , i =1 , ..., N ), et fournissant ensuite la valeur
de (τ
h )
n
i au pas de temps courant.
Commen¸ cons par remarquer que l’´ equation (4.51) est de la forme
∂ψ
∂t
(t, P, Q)=f (t, P, Q)
∂ψ
∂P
+ g(t, P, Q)
∂ψ
∂Q
+ a
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, P, Q).
(4.52)
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Dans ce syst` eme alg´ ebrique, le terme de contrainte (dernier terme de (4.46))
apparaˆ ıt sous la forme du produit matrice× vecteur GS
n o` u S
n est le vecteur
colonne des (τ
h )
n
j , j =1, ..., N et G la matrice de taille N − 1 × N
G =
1
0
∂ y ϕ i χ j
.
(4.50)
Les autres matrices et vecteurs apparaissant dans (4.49) sont faciles ` ad ´ eterminer.
Exercice 4.11. Identifier les matrices M et A en termes des fonctions χ i et
ϕ i , ainsi que le vecteur colonne B
n .
Pour r´ esoudre (4.49) et d´ eterminer U
n+1 pour chaque n, il nous faut maintenant expliquer comment mettre `
aj o u rS
n en S
n+1 , i.e. ´ evaluer (τ
h )
n+1
j
pour chaque j, ce qui correspond au niveau continu `
a´ evaluer le tenseur des
contraintes en un point macroscopique en fonction du niveau microscopique.
Nous allons faire ceci par deux m´ ethodes diff´ erentes.
4.3.3 La discr´ etisation du probl` eme microscopique : M´ ethode 1
Nous nous int´ eressons maintenant `
a la discr´ etisation de la deuxi` eme ´ equation
d’´ evolution de (4.35), `
as a v o i r
∂ψ
∂t
(t, y, P, Q)=−
∂
∂P
(
∂u
∂y
(y, t)Q −
2K
ζ
P ) ψ(t, y, P, Q)
+
∂
∂Q
2K
ζ
Qψ(t, y, P, Q)
+
σ
2
ζ 2
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, y, P, Q).
(4.51)
Il faut bien comprendre que dans cette ´ equation la variable y est un param` etre, au sens o` u il y a (au niveau continu) autant d’´ equations que de
points y et que les op´ erateurs diff´ erentiels ne portent pas sur cette variable
d’espace physique mais sur les variables d’espace (P, Q) qui sont l’espace de
configuration pour l’halt` ere.
Plus pr´ ecis´ ement, au niveau discret, il y a, dans notre cas, N ´ equations de
la forme (4.51), chacune d’entre elles ´ etant associ´ ee ` a un intervalle [
i−1
N ,
i
N ](et
donc `
a une fonction de base χ i , i =1 , ..., N ), et fournissant ensuite la valeur
de (τ
h )
n
i au pas de temps courant.
Commen¸ cons par remarquer que l’´ equation (4.51) est de la forme
∂ψ
∂t
(t, P, Q)=f (t, P, Q)
∂ψ
∂P
+ g(t, P, Q)
∂ψ
∂Q
+ a
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, P, Q).
(4.52)