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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Les familles (ϕ i ) i=0,...,N ,( ϕ i ) i=1,...,N −1 ,( χ i ) i=1,...,N r´ ealisent asymptotiquement (quand N −→ +∞) une base des espaces H
1 (]0, 1[), H
1
0 (]0, 1[), L
2 (]0, 1[),
respectivement. On construit alors une approximation de τ et u par la
d´ ecomposition
τ
h (y, t)=
N
i=1
(τ
h ) i (t)χ i (y),
(4.43)
u
h (y, t)=
N
i=0
(u
h ) i (t)ϕ i (y).
En raison de la condition au bord, on voit que l’on a n´ ecessairement (u
h ) 0 (t)=
0 pour tout t ≥ 0, (u
h ) N (t) = 1 pour tout t>0( e t( u
h ) N (0) = 0). Les
inconnues sur la vitesse sont donc seulement les (u
h ) j , j =1 , ..., N − 1e to n
reconstruit pour t>0 la vitesse u
h par
u
h (y, t)=
N −1
i=1
(u
h ) i (t)ϕ i (y)+ϕ N (y),
u
h (y, 0) = 0.
(4.44)
Remarque 4.10. Les conditions aux bords ne sont pas toujours ´ elimin´ ees aussi
simplement que dans la situation pr´ esente, o` u il a suffi d’enlever deux inconnues (u
h ) 0 et (u
h ) N . Cependant, la prise en compte de ces conditions aux
bords reste souvent une difficult´ e d’ordre secondaire.
A ce stade, on a donc approch´ el ep r o b l ` eme (4.39) par le probl` eme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Chercher les (u
h ) j :[ 0 ,T] −→ IR p o u r j =1, ...N − 1
tels que u
h (y, t)donn´ e par (4.44) v´ erifie
∀i =1, ...N − 1,
d
dt
(u
h ,ϕ i ) L 2 = −µ(∂ y u
h ,∂ y ϕ i ) L 2 −
1
ρ s
(τ
h (y, t),∂ y ϕ i ) L 2
(4.45)
Ce syst` eme est en fait un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires sur les
inconnues (u
h ) j , qui sont des fonctions du temps t seulement.
On r´ ealise maintenant une discr´ etisation par diff´ erences finies. Plus pr´ ecis´ ement, on emploie pour le terme visqueux un sch´ ema d’Euler implicite (voir
au Chapitre 5 une analyse pr´ ecise de ce sch´ ema), qui consiste ` a approcher une
´ equation
d
dt
w = f (t, w(t)) par le sch´ ema
w
n+1 − w
n
∆t
= f (t
n+1 ,w
n+1 )
et pour le terme de contrainte un sch´ ema d’Euler explicite (voir aussi au
Chapitre 5 une analyse pr´ ecise de ce sch´ ema), qui consiste ` a approcher une
´ equation
d
dt
w = f (t, w(t)) par le sch´ ema
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Les familles (ϕ i ) i=0,...,N ,( ϕ i ) i=1,...,N −1 ,( χ i ) i=1,...,N r´ ealisent asymptotiquement (quand N −→ +∞) une base des espaces H
1 (]0, 1[), H
1
0 (]0, 1[), L
2 (]0, 1[),
respectivement. On construit alors une approximation de τ et u par la
d´ ecomposition
τ
h (y, t)=
N
i=1
(τ
h ) i (t)χ i (y),
(4.43)
u
h (y, t)=
N
i=0
(u
h ) i (t)ϕ i (y).
En raison de la condition au bord, on voit que l’on a n´ ecessairement (u
h ) 0 (t)=
0 pour tout t ≥ 0, (u
h ) N (t) = 1 pour tout t>0( e t( u
h ) N (0) = 0). Les
inconnues sur la vitesse sont donc seulement les (u
h ) j , j =1 , ..., N − 1e to n
reconstruit pour t>0 la vitesse u
h par
u
h (y, t)=
N −1
i=1
(u
h ) i (t)ϕ i (y)+ϕ N (y),
u
h (y, 0) = 0.
(4.44)
Remarque 4.10. Les conditions aux bords ne sont pas toujours ´ elimin´ ees aussi
simplement que dans la situation pr´ esente, o` u il a suffi d’enlever deux inconnues (u
h ) 0 et (u
h ) N . Cependant, la prise en compte de ces conditions aux
bords reste souvent une difficult´ e d’ordre secondaire.
A ce stade, on a donc approch´ el ep r o b l ` eme (4.39) par le probl` eme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Chercher les (u
h ) j :[ 0 ,T] −→ IR p o u r j =1, ...N − 1
tels que u
h (y, t)donn´ e par (4.44) v´ erifie
∀i =1, ...N − 1,
d
dt
(u
h ,ϕ i ) L 2 = −µ(∂ y u
h ,∂ y ϕ i ) L 2 −
1
ρ s
(τ
h (y, t),∂ y ϕ i ) L 2
(4.45)
Ce syst` eme est en fait un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires sur les
inconnues (u
h ) j , qui sont des fonctions du temps t seulement.
On r´ ealise maintenant une discr´ etisation par diff´ erences finies. Plus pr´ ecis´ ement, on emploie pour le terme visqueux un sch´ ema d’Euler implicite (voir
au Chapitre 5 une analyse pr´ ecise de ce sch´ ema), qui consiste ` a approcher une
´ equation
d
dt
w = f (t, w(t)) par le sch´ ema
w
n+1 − w
n
∆t
= f (t
n+1 ,w
n+1 )
et pour le terme de contrainte un sch´ ema d’Euler explicite (voir aussi au
Chapitre 5 une analyse pr´ ecise de ce sch´ ema), qui consiste ` a approcher une
´ equation
d
dt
w = f (t, w(t)) par le sch´ ema