4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
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∂u
∂t
(y, t)=µ
∂
2 u
∂y 2 (y, t)+
1
ρ s
∂τ
∂y
(y, t)
La question est
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Chercher u :[ 0 ,T] −→ H
1 (0,L)t e lq u e
∂u
∂t
(y, t)=µ
∂
2 u
∂y 2 (y, t)+
1
ρ s
∂τ
∂y
(y, t)
u(y, 0) = 0
u(0,t)=V (t)
u(L, t)=0
(4.38)
Nous en faisons la formulation variationnelle suivante :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Chercher u :[ 0 ,T] −→ H
1
V (t) (0,L)t e lq u e
∀v ∈ H
1
0 (0,L),
d
dt
(u(t),v) L 2 = −µ(∂ y u(t),∂ y v) L 2 −
1
ρ s
(τ (t),∂ y v) L 2
u(y, 0) = 0
(4.39)
o` u on a utilis´ e la notation
H
1
V (t) (0,L)=
v ∈ H
1 (0,L),v (0) = V (t),v (L)=0
.
Exercice 4.9. V´ erifier qu’une solution de (4.39) est solution de (4.38).
Passons ` a la discr´ etisation. Comme annonc´ e et dans un but de simplification, on choisit d´ esormais L = 1 et la condition au bord
V (t)=
0s i t ≤ 0
1s i t>0
(4.40)
Il est alors naturel d’effectuer une discr´ etisation par ´ el´ ements finis de la
variable d’espace y, qui sera suivie d’une discr´ etisation par diff´ erences finies
de la variable temps t. En d’autres termes, on proc` ede comme suit.
On r´ ealise un maillage du segment [0, 1] par N intervalles de longueur
identique h = ∆y =
1
N
. On discr´ etise la contrainte τ par ´ el´ ements finis P 0
et la vitesse u par ´ el´ ements finis P 1. Plus pr´ ecis´ ement, on introduit pour
0 ≤ i ≤ N ,
ϕ i (y)=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1s i y =
i
N
affine sur [
i−1
N ,
i
N ]et[
i
N ,
i+1
N ]
0s i y ∈ [0,
i−1
N ] ∪ [
i+1
N , 1]
(4.41)
(avec les adaptations ´ evidentes pour les cas i =0eti = N )et,pour1≤ i ≤ N ,
χ i (y)=
1siy ∈ [
i−1
N ,
i
N [
0sino n,
(4.42)