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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Exercice 4.7. Montrer qu’` ac a u s ed el ag ´ eom´ etrie particuli` ere du probl` eme
consid´ er´ e et de (4.31), le syst` eme (4.33) se r´ ecrit sous la forme (4.35) en
v´ erifiant que la pression p
∗ et les coefficients diagonaux du tenseur τ p ne
jouent pas de rˆ ole dans la d´ etermination du champ de vitesse, et qu’on peut
` a bon droit supposer l’ind´ ependance en x de u, ψ et τ .
Exercice 4.8. L’objectif de cet exercice est de v´ erifier, sur le cas de l’´ ecoulement de Couette (mais le r´ esultat est vrai pour tout ´ ecoulement) que le
mod` ele micro-macro d’halt` eres lin´ eaires est en fait ´ equivalent `
au nm o d ` ele
purement macroscopique, comme nous l’avons signal´ e` a la Remarque 4.5.
On se concentre sur les deux derni` eres ´ equations de (4.35), et on consid` ere
momentan´ ement la vitesse u comme connue. Montrer que si l’on part, pour
l’´ equation de Fokker-Planck, d’une fonction ψ 0 qui v´ erifie
R 2
Q
2 ψ 0 =
1
n p K
et
R 2
PQψ 0 = τ 0 ,e ts il ’ o ns u p p o s en p =
2ζ
σ 2 alors la fonction τ obtenue est
exactement la solution de
∂τ
∂t
+ λτ =
∂u
∂y
,
(4.36)
pour la donn´ ee initiale τ 0 et un certain λ qu’on identifiera.
Montrer alors que l’´ equation (4.36) est la simplification dans la g´ eom´ etrie
de Couette de l’´ equation d’Oldroyd B
∂σ
∂t
+ u.∇σ − σ
t ∇u −∇u σ + λσ = λ (∇u +
t ∇u).
(4.37)
lorsque la vitesse u = u(y, t)e x et lorsque le tenseur des contraintes σ est
suppos´ ed ´ ependre seulement des variables (y, t). On reliera la fonction τ ` au n
des termes du tenseur des contraintes σ.
La suite de cette section est consacr´ ee ` a la description de la discr´ etisation
du syst` eme (4.35). On s’int´ eresse d’abord ` a la partie macroscopique des
´ equations, c’est-` a-dire `
al ad ´ etermination de u par la premi` ere ´ equation de
(4.35) quand on consid` ere la contrainte τ connue. Puis, on examinera deux
m´ ethodes diff´ erentes pour simuler la partie microscopique (lignes suivantes de
(4.35)). Bien sˆ ur, ce d´ ecoupage est purement p´ edagogique, car dans la simulation r´ eelle, les deux parties sont coupl´ ees (voir la fin de la sous-section 4.3.4).
4.3.2 La discr´ etisation du probl` eme macroscopique
Dans un premier temps, nous consid´ erons le champ de contraintes τ (y, t)
connu, et nous nous focalisons sur la d´ etermination de la vitesse. Cette
d´ etermination va se faire par une discr´ etisation en ´ el´ ements finis (cf. Annexe
A pour des rappels de base). Tout commence par la formulation variationnelle
de l’´ equation de la premi` ere ligne de (4.35) :
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Exercice 4.7. Montrer qu’` ac a u s ed el ag ´ eom´ etrie particuli` ere du probl` eme
consid´ er´ e et de (4.31), le syst` eme (4.33) se r´ ecrit sous la forme (4.35) en
v´ erifiant que la pression p
∗ et les coefficients diagonaux du tenseur τ p ne
jouent pas de rˆ ole dans la d´ etermination du champ de vitesse, et qu’on peut
` a bon droit supposer l’ind´ ependance en x de u, ψ et τ .
Exercice 4.8. L’objectif de cet exercice est de v´ erifier, sur le cas de l’´ ecoulement de Couette (mais le r´ esultat est vrai pour tout ´ ecoulement) que le
mod` ele micro-macro d’halt` eres lin´ eaires est en fait ´ equivalent `
au nm o d ` ele
purement macroscopique, comme nous l’avons signal´ e` a la Remarque 4.5.
On se concentre sur les deux derni` eres ´ equations de (4.35), et on consid` ere
momentan´ ement la vitesse u comme connue. Montrer que si l’on part, pour
l’´ equation de Fokker-Planck, d’une fonction ψ 0 qui v´ erifie
R 2
Q
2 ψ 0 =
1
n p K
et
R 2
PQψ 0 = τ 0 ,e ts il ’ o ns u p p o s en p =
2ζ
σ 2 alors la fonction τ obtenue est
exactement la solution de
∂τ
∂t
+ λτ =
∂u
∂y
,
(4.36)
pour la donn´ ee initiale τ 0 et un certain λ qu’on identifiera.
Montrer alors que l’´ equation (4.36) est la simplification dans la g´ eom´ etrie
de Couette de l’´ equation d’Oldroyd B
∂σ
∂t
+ u.∇σ − σ
t ∇u −∇u σ + λσ = λ (∇u +
t ∇u).
(4.37)
lorsque la vitesse u = u(y, t)e x et lorsque le tenseur des contraintes σ est
suppos´ ed ´ ependre seulement des variables (y, t). On reliera la fonction τ ` au n
des termes du tenseur des contraintes σ.
La suite de cette section est consacr´ ee ` a la description de la discr´ etisation
du syst` eme (4.35). On s’int´ eresse d’abord ` a la partie macroscopique des
´ equations, c’est-` a-dire `
al ad ´ etermination de u par la premi` ere ´ equation de
(4.35) quand on consid` ere la contrainte τ connue. Puis, on examinera deux
m´ ethodes diff´ erentes pour simuler la partie microscopique (lignes suivantes de
(4.35)). Bien sˆ ur, ce d´ ecoupage est purement p´ edagogique, car dans la simulation r´ eelle, les deux parties sont coupl´ ees (voir la fin de la sous-section 4.3.4).
4.3.2 La discr´ etisation du probl` eme macroscopique
Dans un premier temps, nous consid´ erons le champ de contraintes τ (y, t)
connu, et nous nous focalisons sur la d´ etermination de la vitesse. Cette
d´ etermination va se faire par une discr´ etisation en ´ el´ ements finis (cf. Annexe
A pour des rappels de base). Tout commence par la formulation variationnelle
de l’´ equation de la premi` ere ligne de (4.35) :