4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
145
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+(u ·∇)u = −∇p
∗ + µ∆u +
1
ρ s
div τ p ,
div u =0
τ p (x, y, t)=n p K
I R d
(r ⊗ r) ψ(t, x, y, r) dr
∂ψ
∂t
(t, x, y, r)
+(u(x, y, t) ·∇ x ) ψ(t, x, y, r)=−div r
(∇ x u(x, y, t) · r −
2K
ζ
r)ψ(t, x, r)
+
σ
2
ζ 2 ∆ r ψ(t, x, y, r)
(4.33)
compl´ ement´ ed e sm ˆ emes conditions au bord et initiales :
⎧
⎨
⎩
u(x, y, 0) = 0
u(x, y =0,t)=V (t) e x , ∀t>0
u(x, y = L, t)=0,
∀t>0
(4.34)
Il s’agit au niveau microscopique d’un mod` ele d’halt` eres lin´ eaire : le vecteur
bout-` a-bout r est un vecteur de dimension 2, la force de rappel est proportionnelle `
al ’ ´ elongation (cf. le coefficient
2K
ζ
).
Nous avons fait figurer dans ce syst` eme toutes les constantes physiques
du probl` eme (que nous avions souvent “oubli´ ees” pr´ ec´ edemment dans ce chapitre). Ainsi, n p est la concentration volumique du polym` ere, i.e. le nombre
de chaˆ ınes par unit´ ed ev o l u m e ,µ est la viscosit´ ed us o l v a n t ,ρ s est la densit´ e
du solvant, ζ est un coefficient de frottement visqueux. L’intensit´ e σ de la diffusion d´ epend de la temp´ erature du solvant : l’agitation thermique augmente
avec la temp´ erature. Enfin, K est encore la constante de raideur du ressort
entropique.
Au vu de la g´ eom´ etrie et de l’incompressibilit´ e, nous avons fait l’hypoth` ese
(4.31) sur la forme du champ de vitesse. L’objectif de l’exercice ci-dessous est
de v´ erifier que ceci est compatible avec les ´ equations (4.33), et de les simplifier
alors, de sorte d’obtenir le syst` eme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
(y, t)=µ
∂
2 u
∂y 2 (y, t)+
1
ρ s
∂τ
∂y
(y, t)
τ (y, t)=n p K
I R 2
PQψ(t, y, P, Q) dP dQ
∂ψ
∂t
(t, y, P, Q)=−
∂
∂P
(
∂u
∂y
(y, t)Q −
2K
ζ
P ) ψ(t, y, P, Q)
+
∂
∂Q
2K
ζ
Qψ (t, y, P, Q)
+
σ
2
ζ 2
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, y, P, Q)
(4.35)
o` u P et Q d´ esignent les composantes du vecteur bout-` a-bout r sur les axes x
et y respectivement, et τ (y, t) est la composante xy du tenseur τ p .
145
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+(u ·∇)u = −∇p
∗ + µ∆u +
1
ρ s
div τ p ,
div u =0
τ p (x, y, t)=n p K
I R d
(r ⊗ r) ψ(t, x, y, r) dr
∂ψ
∂t
(t, x, y, r)
+(u(x, y, t) ·∇ x ) ψ(t, x, y, r)=−div r
(∇ x u(x, y, t) · r −
2K
ζ
r)ψ(t, x, r)
+
σ
2
ζ 2 ∆ r ψ(t, x, y, r)
(4.33)
compl´ ement´ ed e sm ˆ emes conditions au bord et initiales :
⎧
⎨
⎩
u(x, y, 0) = 0
u(x, y =0,t)=V (t) e x , ∀t>0
u(x, y = L, t)=0,
∀t>0
(4.34)
Il s’agit au niveau microscopique d’un mod` ele d’halt` eres lin´ eaire : le vecteur
bout-` a-bout r est un vecteur de dimension 2, la force de rappel est proportionnelle `
al ’ ´ elongation (cf. le coefficient
2K
ζ
).
Nous avons fait figurer dans ce syst` eme toutes les constantes physiques
du probl` eme (que nous avions souvent “oubli´ ees” pr´ ec´ edemment dans ce chapitre). Ainsi, n p est la concentration volumique du polym` ere, i.e. le nombre
de chaˆ ınes par unit´ ed ev o l u m e ,µ est la viscosit´ ed us o l v a n t ,ρ s est la densit´ e
du solvant, ζ est un coefficient de frottement visqueux. L’intensit´ e σ de la diffusion d´ epend de la temp´ erature du solvant : l’agitation thermique augmente
avec la temp´ erature. Enfin, K est encore la constante de raideur du ressort
entropique.
Au vu de la g´ eom´ etrie et de l’incompressibilit´ e, nous avons fait l’hypoth` ese
(4.31) sur la forme du champ de vitesse. L’objectif de l’exercice ci-dessous est
de v´ erifier que ceci est compatible avec les ´ equations (4.33), et de les simplifier
alors, de sorte d’obtenir le syst` eme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
(y, t)=µ
∂
2 u
∂y 2 (y, t)+
1
ρ s
∂τ
∂y
(y, t)
τ (y, t)=n p K
I R 2
PQψ(t, y, P, Q) dP dQ
∂ψ
∂t
(t, y, P, Q)=−
∂
∂P
(
∂u
∂y
(y, t)Q −
2K
ζ
P ) ψ(t, y, P, Q)
+
∂
∂Q
2K
ζ
Qψ (t, y, P, Q)
+
σ
2
ζ 2
∂
2
∂P 2 +
∂
2
∂Q 2
ψ(t, y, P, Q)
(4.35)
o` u P et Q d´ esignent les composantes du vecteur bout-` a-bout r sur les axes x
et y respectivement, et τ (y, t) est la composante xy du tenseur τ p .