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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
y=0
x
y=L
y
V
Fig. 4.5. Ecoulement de type “plan de Couette” ; le profil des vitesses repr´ esent´ e
ici correspond ` al ’ ´ ecoulement stationnaire d’un fluide newtonien.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
(y, t)=µ
∂
2 u
∂y 2 (y, t)
u(y, 0) = 0
u(0,t)=V (t)
u(L, t)=0
(4.32)
Il faut bien comprendre le “miracle” qui permet de simplifier consid´ erablement le probl` e m ed a n sl ec a ss p ´ ecifique de l’´ ecoulement de Couette. Le fait
que u = u(y, t) e x entraˆ ıne deux simplifications. Premi` erement, la propri´ et´ e
d’incompressibilit´ e est automatiquement v´ erifi´ ee, puisqu’elle est inscrite dans
la forme de u. Ceci nous ´ evite d’avoir `
ag ´ erer explicitement l’incompressibilit´ e comme une contrainte, ce qui conduirait `
a de grosses difficult´ es techniques (penser `
al ar ´ esolution du probl` eme de Stokes, qui est beaucoup
plus compliqu´ ee que celle du probl` eme de Laplace). Deuxi` emement, le terme
(u ·∇) u (dit de Navier )d i s p a r a ˆ ıt pour des raisons alg´ ebriques, li´ ees encore
` a la forme particuli` ere de u. La disparition de cette non lin´ earit´ e, qui fait
toute la difficult´ et h ´ eorique et pratique de l’´ equation de Navier-Stokes, est
particuli` erement heureuse.
4.3.1 Le mod` ele micro-macro
Nous consid´ erons maintenant un fluide non newtonien dont, en toute g´ en´ eralit´ e, l’´ evolution coupl´ ee micro-macro est d´ ecrite par le syst` eme suivant
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
y=0
x
y=L
y
V
Fig. 4.5. Ecoulement de type “plan de Couette” ; le profil des vitesses repr´ esent´ e
ici correspond ` al ’ ´ ecoulement stationnaire d’un fluide newtonien.
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
(y, t)=µ
∂
2 u
∂y 2 (y, t)
u(y, 0) = 0
u(0,t)=V (t)
u(L, t)=0
(4.32)
Il faut bien comprendre le “miracle” qui permet de simplifier consid´ erablement le probl` e m ed a n sl ec a ss p ´ ecifique de l’´ ecoulement de Couette. Le fait
que u = u(y, t) e x entraˆ ıne deux simplifications. Premi` erement, la propri´ et´ e
d’incompressibilit´ e est automatiquement v´ erifi´ ee, puisqu’elle est inscrite dans
la forme de u. Ceci nous ´ evite d’avoir `
ag ´ erer explicitement l’incompressibilit´ e comme une contrainte, ce qui conduirait `
a de grosses difficult´ es techniques (penser `
al ar ´ esolution du probl` eme de Stokes, qui est beaucoup
plus compliqu´ ee que celle du probl` eme de Laplace). Deuxi` emement, le terme
(u ·∇) u (dit de Navier )d i s p a r a ˆ ıt pour des raisons alg´ ebriques, li´ ees encore
` a la forme particuli` ere de u. La disparition de cette non lin´ earit´ e, qui fait
toute la difficult´ et h ´ eorique et pratique de l’´ equation de Navier-Stokes, est
particuli` erement heureuse.
4.3.1 Le mod` ele micro-macro
Nous consid´ erons maintenant un fluide non newtonien dont, en toute g´ en´ eralit´ e, l’´ evolution coupl´ ee micro-macro est d´ ecrite par le syst` eme suivant