4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
143
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ψ(t, x, r)
∂t
+ u ·∇ x ψ(t, x, r)=−div r
(∇ x ur−
2
ζ
F (r))ψ(t, x, r)
+
2k B T
ζ
∆ r ψ(t, x, r),
τ p (t, x)=n p
(r ⊗ F (r)) ψ(t, x, r) dr
(4.29)
On entre alors dans un champ de mod´ elisation nouveau, non couvert par
les mod` eles macroscopiques. Avoir pr´ epar´ el et e r r a i ns u rl es i m p l em o d ` ele
d’halt` eres lin´ eaires est alors de premi` ere utilit´ e.
4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
Nous nous int´ eressons ici ` a la simulation d’un ´ ecoulement simple de type “plan
de Couette” (cf. Figure 4.5) : le fluide s’´ ecoule entre deux plans parall` eles. A
l’instant initial (t = 0), le fluide est au repos. Le plan inf´ erieur (y = 0) est alors
mis en mouvement avec une vitesse V (t) (qu’on supposera plus loin constante
et ´ egale ` a V ≡ 1 pour tout t>0, pour simplifier), tandis que le plan sup´ erieur
(y = L) est maintenu fixe. On parle d’un flot de start-up.
Le fluide polym´ erique que nous consid´ erons est visqueux, incompressible et
homog` ene. Son tenseur des contraintes comporte une partie τ p due `
alacontribution des chaˆ ınes polym´ eriques. Les ´ equations qui r´ egissent son mouvement
sont les ´ equations (4.9) que nous reproduisons ici :
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f
div u =0
(4.30)
Vu la g´ eom´ etrie particuli` ere de l’´ ecoulement de Couette, il est l´ egitime de
faire l’hypoth` ese que l’´ ecoulement est laminaire, ce qui signifie qu’en chaque
point de l’´ ecoulement, la vitesse est purement colin´ eaire au vecteur e x ,` asavoir
u = u x (x, y, t) e x . La contrainte d’incompressibilit´ e impose alors qu’en fait la
vitesse ne d´ epende pas de la variable x,d ’ o` u u = u x (y, t) e x . D´ esormais, nous
omettons l’indice inf´ erieur x dans u x .L ad ´ etermination de la vitesse
u = u(y, t) e x
(4.31)
se r´ eduit donc `
al ad ´ etermination du champ scalaire u(y, t).
L’objet de l’exercice suivant est d’´ etudier le cas plus simple du fluide newtonien, i.e. τ p ≡ 0d a n sl e s´ equations ci-dessus.
Exercice 4.6. Montrer que pour un fluide incompressible newtonien, moyennant une hypoth` ese sur la pression (qu’on justifiera), u(y, t)v ´ erifie
143
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ψ(t, x, r)
∂t
+ u ·∇ x ψ(t, x, r)=−div r
(∇ x ur−
2
ζ
F (r))ψ(t, x, r)
+
2k B T
ζ
∆ r ψ(t, x, r),
τ p (t, x)=n p
(r ⊗ F (r)) ψ(t, x, r) dr
(4.29)
On entre alors dans un champ de mod´ elisation nouveau, non couvert par
les mod` eles macroscopiques. Avoir pr´ epar´ el et e r r a i ns u rl es i m p l em o d ` ele
d’halt` eres lin´ eaires est alors de premi` ere utilit´ e.
4.3 Simulation num´ erique de l’Ecoulement de Couette
Nous nous int´ eressons ici ` a la simulation d’un ´ ecoulement simple de type “plan
de Couette” (cf. Figure 4.5) : le fluide s’´ ecoule entre deux plans parall` eles. A
l’instant initial (t = 0), le fluide est au repos. Le plan inf´ erieur (y = 0) est alors
mis en mouvement avec une vitesse V (t) (qu’on supposera plus loin constante
et ´ egale ` a V ≡ 1 pour tout t>0, pour simplifier), tandis que le plan sup´ erieur
(y = L) est maintenu fixe. On parle d’un flot de start-up.
Le fluide polym´ erique que nous consid´ erons est visqueux, incompressible et
homog` ene. Son tenseur des contraintes comporte une partie τ p due `
alacontribution des chaˆ ınes polym´ eriques. Les ´ equations qui r´ egissent son mouvement
sont les ´ equations (4.9) que nous reproduisons ici :
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f
div u =0
(4.30)
Vu la g´ eom´ etrie particuli` ere de l’´ ecoulement de Couette, il est l´ egitime de
faire l’hypoth` ese que l’´ ecoulement est laminaire, ce qui signifie qu’en chaque
point de l’´ ecoulement, la vitesse est purement colin´ eaire au vecteur e x ,` asavoir
u = u x (x, y, t) e x . La contrainte d’incompressibilit´ e impose alors qu’en fait la
vitesse ne d´ epende pas de la variable x,d ’ o` u u = u x (y, t) e x . D´ esormais, nous
omettons l’indice inf´ erieur x dans u x .L ad ´ etermination de la vitesse
u = u(y, t) e x
(4.31)
se r´ eduit donc `
al ad ´ etermination du champ scalaire u(y, t).
L’objet de l’exercice suivant est d’´ etudier le cas plus simple du fluide newtonien, i.e. τ p ≡ 0d a n sl e s´ equations ci-dessus.
Exercice 4.6. Montrer que pour un fluide incompressible newtonien, moyennant une hypoth` ese sur la pression (qu’on justifiera), u(y, t)v ´ erifie