142
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
et la seconde l’´ evolution du tenseur des contraintes (on oublie la variable
pression pour all´ eger, elle ne joue pas de rˆ ole dans l’aspect d´ ecrit ici). La
mod´ elisation micro-macro introduit, elle, une ´ etape suppl´ ementaire qui n’´ ecrit
pas d’´ evolution explicite du tenseur des contraintes τ p , mais le calcule “point
par point” en fonction d’une variable microscopique Σ (dans (4.26), la densit´ e
ψ dans l’espace de configuration des chaˆ ınes polym´ eriques) dont on mod´ elise
l’´ evolution en temps,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Du
Dt
= F(τ p , u),
τ p = τ p (Σ)
DΣ
Dt
= G µ (Σ, u),
(4.28)
La forme (4.28) se g´ en´ eralise ` a tous les syst` emes ` a microstructures (polym` eres fondus, boues, cristaux liquides, ...) : la variable Σ porte en elle toute
la part de la mod´ elisation microscopique, ou m´ esoscopique. De ce point de
vue, notre propos va ˆ etre tout `
af a i tg ´ en´ eral.
Remarque 4.4. On se souviendra ici des probl` emes de minimisation (1.21) au
Chapitre 1 et (2.46) au Chapitre 2.
Le lecteur s’imagine sans peine que la simulation num´ erique de (4.26) n’est
pas une affaire simple. Mˆ e medansc em od ` ele tr` es simple d’halt` eres, il faut un
sch´ ema num´ erique de type ´ el´ ements finis pour les ´ equations macroscopiques
coupl´ ea v e cu ns c h ´ ema pour r´ esoudre l’´ equation (de type parabolique) de
Fokker Planck en chaque point (c’est-` a-dire en chaque noeud de quadrature
dans la formulation ´ el´ ements finis). Nous n’allons donc le faire que dans un
cas ultra simple, celui de l’´ ecoulement de Couette qui est en fait un cas monodimensionnel. Ceci permettra au lecteur de toucher du doigt les difficult´ es
pos´ ees par la discr´ etisation de (4.26), et lui montrera une strat´ egie tr` es efficace
pour simuler l’´ equation de Fokker-Planck, strat´ egie bas´ ee sur une m´ ethode de
nature stochastique.
Remarque 4.5. En fait, le mod` ele d’halt` ere ` a force de rappel lin´ eaire (on parle
de mod` ele hook´ een) que nous avons d´ ecrit ici est ´ equivalent `
aunmod ` ele purement macroscopique de type (4.13), connu sous le nom de mod` ele d’Oldroyd B,
identifi´ e et employ´ e bien avant l’´ emergence des mod` eles micro-macro que nous
exposons ici (voir l’Exercice 4.8 sur ce point). Tel quel, le mod` ele (4.26) n’est
donc jamais simul´ e dans la pratique. Il l’est seulement `
at i t r ep ´ edagogique, et
pour tester des m´ ethodologies num´ eriques. Pourquoi ? Parce que d` es que le
mod` ele d’halt` eres n’a plus une tension F (r)=Kr,o ud ` e sq u el em o d ` ele de
chaˆ ıne polym´ erique est plus sophistiqu´ e, l’´ equivalence avec un mod` ele purement macroscopique n’est plus vraie. Pour une force F (r)p l u sg ´ en´ erale par
exemple, les deux derni` eres lignes de (4.26) sont ` a changer en
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
et la seconde l’´ evolution du tenseur des contraintes (on oublie la variable
pression pour all´ eger, elle ne joue pas de rˆ ole dans l’aspect d´ ecrit ici). La
mod´ elisation micro-macro introduit, elle, une ´ etape suppl´ ementaire qui n’´ ecrit
pas d’´ evolution explicite du tenseur des contraintes τ p , mais le calcule “point
par point” en fonction d’une variable microscopique Σ (dans (4.26), la densit´ e
ψ dans l’espace de configuration des chaˆ ınes polym´ eriques) dont on mod´ elise
l’´ evolution en temps,
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
Du
Dt
= F(τ p , u),
τ p = τ p (Σ)
DΣ
Dt
= G µ (Σ, u),
(4.28)
La forme (4.28) se g´ en´ eralise ` a tous les syst` emes ` a microstructures (polym` eres fondus, boues, cristaux liquides, ...) : la variable Σ porte en elle toute
la part de la mod´ elisation microscopique, ou m´ esoscopique. De ce point de
vue, notre propos va ˆ etre tout `
af a i tg ´ en´ eral.
Remarque 4.4. On se souviendra ici des probl` emes de minimisation (1.21) au
Chapitre 1 et (2.46) au Chapitre 2.
Le lecteur s’imagine sans peine que la simulation num´ erique de (4.26) n’est
pas une affaire simple. Mˆ e medansc em od ` ele tr` es simple d’halt` eres, il faut un
sch´ ema num´ erique de type ´ el´ ements finis pour les ´ equations macroscopiques
coupl´ ea v e cu ns c h ´ ema pour r´ esoudre l’´ equation (de type parabolique) de
Fokker Planck en chaque point (c’est-` a-dire en chaque noeud de quadrature
dans la formulation ´ el´ ements finis). Nous n’allons donc le faire que dans un
cas ultra simple, celui de l’´ ecoulement de Couette qui est en fait un cas monodimensionnel. Ceci permettra au lecteur de toucher du doigt les difficult´ es
pos´ ees par la discr´ etisation de (4.26), et lui montrera une strat´ egie tr` es efficace
pour simuler l’´ equation de Fokker-Planck, strat´ egie bas´ ee sur une m´ ethode de
nature stochastique.
Remarque 4.5. En fait, le mod` ele d’halt` ere ` a force de rappel lin´ eaire (on parle
de mod` ele hook´ een) que nous avons d´ ecrit ici est ´ equivalent `
aunmod ` ele purement macroscopique de type (4.13), connu sous le nom de mod` ele d’Oldroyd B,
identifi´ e et employ´ e bien avant l’´ emergence des mod` eles micro-macro que nous
exposons ici (voir l’Exercice 4.8 sur ce point). Tel quel, le mod` ele (4.26) n’est
donc jamais simul´ e dans la pratique. Il l’est seulement `
at i t r ep ´ edagogique, et
pour tester des m´ ethodologies num´ eriques. Pourquoi ? Parce que d` es que le
mod` ele d’halt` eres n’a plus une tension F (r)=Kr,o ud ` e sq u el em o d ` ele de
chaˆ ıne polym´ erique est plus sophistiqu´ e, l’´ equivalence avec un mod` ele purement macroscopique n’est plus vraie. Pour une force F (r)p l u sg ´ en´ erale par
exemple, les deux derni` eres lignes de (4.26) sont ` a changer en