4.2 Mod´ elisation micro-macro des fluides polym´ eriques
141
τ p (t, x)=−n p kT Id + n p
(r ⊗ F (r)) ψ(t, x, r) dr
(4.25)
o` u n p d´ esigne le nombre total de polym` eres par unit´ e de volume. On peut
remarquer que le premier terme sera simplement une constante additive `
al a
pression, et peut donc d´ esormais ˆ etre oubli´ e. Seul compte le second terme. Le
mod` ele global que nous avons donc obtenu est le suivant (avec un l´ eger abus
de notation, on y oublie le terme −n p kT Id dans τ p ,p r ´ ef´ erant l’inclure dans
la pression p)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f,
div u =0
τ p (t, x)=n p
(r ⊗K r) ψ(t, x, r) dr
∂ψ(t, x, r)
∂t
+ u ·∇ x ψ(t, x, r)=−div r
(∇ x ur−
2K
ζ
r)ψ(t, x, r)
+
2k B T
ζ
∆ r ψ(t, x, r).
(4.26)
Bien noter que l’´ equation de Fokker Planck `
al at r o i s i ` eme ligne est ` ar ´ esoudre
en chaque point macroscopique x. La valeur du tenseur τ p fait appel `
a ψ
qui contient la m´ emoire des d´ eformations subies. La nature multi´ echelle du
syst` eme est ´ evidente.
n
Fig. 4.4. Formule de Kramer : la contribution des chaˆ ınes polym´ eriques au tenseur
des contraintes s’obtient en sommant sur toutes les chaˆ ınes “coup´ ees” par le plan
consid´ er´ e.
Arrˆ etons-nous un instant sur la forme du syst` eme (4.26). Au vu de (4.9)
et (4.11), la mod´ elisation purement macroscopique consiste en un syst` eme de
la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Du
Dt
= F(τ p , u),
Dτ p
Dt
= G(τ p , u),
(4.27)
o` u D d´ esigne la d´ eriv´ ee convective, o` ul ap r e m i ` ere ligne figure symboliquement l’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement (Navier-Stokes)
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τ p (t, x)=−n p kT Id + n p
(r ⊗ F (r)) ψ(t, x, r) dr
(4.25)
o` u n p d´ esigne le nombre total de polym` eres par unit´ e de volume. On peut
remarquer que le premier terme sera simplement une constante additive `
al a
pression, et peut donc d´ esormais ˆ etre oubli´ e. Seul compte le second terme. Le
mod` ele global que nous avons donc obtenu est le suivant (avec un l´ eger abus
de notation, on y oublie le terme −n p kT Id dans τ p ,p r ´ ef´ erant l’inclure dans
la pression p)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f,
div u =0
τ p (t, x)=n p
(r ⊗K r) ψ(t, x, r) dr
∂ψ(t, x, r)
∂t
+ u ·∇ x ψ(t, x, r)=−div r
(∇ x ur−
2K
ζ
r)ψ(t, x, r)
+
2k B T
ζ
∆ r ψ(t, x, r).
(4.26)
Bien noter que l’´ equation de Fokker Planck `
al at r o i s i ` eme ligne est ` ar ´ esoudre
en chaque point macroscopique x. La valeur du tenseur τ p fait appel `
a ψ
qui contient la m´ emoire des d´ eformations subies. La nature multi´ echelle du
syst` eme est ´ evidente.
n
Fig. 4.4. Formule de Kramer : la contribution des chaˆ ınes polym´ eriques au tenseur
des contraintes s’obtient en sommant sur toutes les chaˆ ınes “coup´ ees” par le plan
consid´ er´ e.
Arrˆ etons-nous un instant sur la forme du syst` eme (4.26). Au vu de (4.9)
et (4.11), la mod´ elisation purement macroscopique consiste en un syst` eme de
la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Du
Dt
= F(τ p , u),
Dτ p
Dt
= G(τ p , u),
(4.27)
o` u D d´ esigne la d´ eriv´ ee convective, o` ul ap r e m i ` ere ligne figure symboliquement l’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement (Navier-Stokes)