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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
La variation totale
∂ψ
∂t
+ u ·∇ψ de ψ est alors la r´ esultante de plusieurs
ph´ enom` enes :
– 1 - une force hydrodynamique : l’halt` ere est allong´ ee (ou raccourcie) par
un effet dˆ u` a une interaction avec le fluide ; chacun des deux bouts de
l’halt` ere est frein´ e par le fluide avec une force proportionnelle `
a la vitesse
(via un coefficient de friction ζ), mais comme cette vitesse diff` ere de ∇u r
d’un bout `
a l’autre de l’halt` ere, il en r´ esulte une force d’´ elongation ; cette
force subie par l’halt` ere s’exprime donc en fonction de ζ∇u r ;
– 2- une force intrapolym´ erique : une autre partie des forces est due `
al a
“force de rappel entropique ” du “ressort” r ;
– 3 - enfin, une force brownienne : la chaˆ ıne est bombard´ ee par les
mol´ ecules du solvant, ce qui modifie sa configuration, ici le vecteur r.
Le bilan est formalis´ ep a rl ’ ´ equation d’´ evolution de ψ qu’on appelle
´ equation de Fokker-Planck :
∂ψ(t, x, r)
∂t
+ u ·∇ x ψ(t, x, r)=−div r
(∇ x ur−
2K
ζ
r)ψ(t, x, r)
+
2k B T
ζ
∆ r ψ(t, x, r),
(4.24)
o` u ζ est un coefficient de friction, T est la temp´ erature, et k B la constante
de Boltzmann. Dans cette ´ equation, on reconnaˆ ıt au membre de droite, dans
l’ordre, les trois termes de force qui s’appliquent sur la chaˆ ıne polym´ eriques.
Pour qu’il n’y ait pas d’ambig¨ uit´ e, on a fait figurer en indice des op´ erateurs
diff´ erentiels la variable par rapport `
a laquelle on d´ erivait. Au membre de
gauche, le transport est un transport macroscopique (variable x). Au membre
de droite, on g` ere l’´ evolution en la variable de configuration r,d o n cl e s
op´ erateurs divergence div r et laplacien ∆ r sont par rapport `
a cette variable.
Par exemple, la force de rappel entropique fait passer d’un r ` aunr plus petit,
mais n’a aucun rapport avec la variable de position “g´ eographique” x de la
chaˆ ıne au sein du fluide macroscopique.
Une fois ceci fait, il nous reste `
a exprimer le tenseur des contraintes. Physiquement, la contribution de la chaˆ ıne est la suivante. On sait que l’on trouve
la valeur de la contrainte au sein d’un mat´ eriau en imaginant qu’on coupe ce
mat´ eriau par un plan (de vecteur normal n)eten´ evaluant la force de r´ eaction
agissant sur chacun des deux plans ainsi obtenus par s´ eparation. Cette force
vaut τ · n. En faisant varier n, on identifie ainsi toutes les composantes du tenseur des contraintes τ . Faisons cette exp´ erience mentale ici. En d´ ecoupant le
fluide, on tranche in´ evitablement bon nombre de chaˆ ınes polym´ eriques, dont
la r´ eaction va contribuer (via τ p )` al afo rc eder ´ eaction globale des deux plans
de fluide s´ epar´ es. La r´ eaction de chaque chaˆ ıne d´ ependra de son orientation r.
L’agr´ egation de la r´ eponse de toutes les chaˆ ınes suivant leur position donnera
la r´ eponse totale (voir Figure 4.4). Un calcul montre que cette contribution
est donn´ ee par la formule de Kramer
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
La variation totale
∂ψ
∂t
+ u ·∇ψ de ψ est alors la r´ esultante de plusieurs
ph´ enom` enes :
– 1 - une force hydrodynamique : l’halt` ere est allong´ ee (ou raccourcie) par
un effet dˆ u` a une interaction avec le fluide ; chacun des deux bouts de
l’halt` ere est frein´ e par le fluide avec une force proportionnelle `
a la vitesse
(via un coefficient de friction ζ), mais comme cette vitesse diff` ere de ∇u r
d’un bout `
a l’autre de l’halt` ere, il en r´ esulte une force d’´ elongation ; cette
force subie par l’halt` ere s’exprime donc en fonction de ζ∇u r ;
– 2- une force intrapolym´ erique : une autre partie des forces est due `
al a
“force de rappel entropique ” du “ressort” r ;
– 3 - enfin, une force brownienne : la chaˆ ıne est bombard´ ee par les
mol´ ecules du solvant, ce qui modifie sa configuration, ici le vecteur r.
Le bilan est formalis´ ep a rl ’ ´ equation d’´ evolution de ψ qu’on appelle
´ equation de Fokker-Planck :
∂ψ(t, x, r)
∂t
+ u ·∇ x ψ(t, x, r)=−div r
(∇ x ur−
2K
ζ
r)ψ(t, x, r)
+
2k B T
ζ
∆ r ψ(t, x, r),
(4.24)
o` u ζ est un coefficient de friction, T est la temp´ erature, et k B la constante
de Boltzmann. Dans cette ´ equation, on reconnaˆ ıt au membre de droite, dans
l’ordre, les trois termes de force qui s’appliquent sur la chaˆ ıne polym´ eriques.
Pour qu’il n’y ait pas d’ambig¨ uit´ e, on a fait figurer en indice des op´ erateurs
diff´ erentiels la variable par rapport `
a laquelle on d´ erivait. Au membre de
gauche, le transport est un transport macroscopique (variable x). Au membre
de droite, on g` ere l’´ evolution en la variable de configuration r,d o n cl e s
op´ erateurs divergence div r et laplacien ∆ r sont par rapport `
a cette variable.
Par exemple, la force de rappel entropique fait passer d’un r ` aunr plus petit,
mais n’a aucun rapport avec la variable de position “g´ eographique” x de la
chaˆ ıne au sein du fluide macroscopique.
Une fois ceci fait, il nous reste `
a exprimer le tenseur des contraintes. Physiquement, la contribution de la chaˆ ıne est la suivante. On sait que l’on trouve
la valeur de la contrainte au sein d’un mat´ eriau en imaginant qu’on coupe ce
mat´ eriau par un plan (de vecteur normal n)eten´ evaluant la force de r´ eaction
agissant sur chacun des deux plans ainsi obtenus par s´ eparation. Cette force
vaut τ · n. En faisant varier n, on identifie ainsi toutes les composantes du tenseur des contraintes τ . Faisons cette exp´ erience mentale ici. En d´ ecoupant le
fluide, on tranche in´ evitablement bon nombre de chaˆ ınes polym´ eriques, dont
la r´ eaction va contribuer (via τ p )` al afo rc eder ´ eaction globale des deux plans
de fluide s´ epar´ es. La r´ eaction de chaque chaˆ ıne d´ ependra de son orientation r.
L’agr´ egation de la r´ eponse de toutes les chaˆ ınes suivant leur position donnera
la r´ eponse totale (voir Figure 4.4). Un calcul montre que cette contribution
est donn´ ee par la formule de Kramer