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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
P (r)=
δ(r −
N −1
i=1
au i )ψ(θ
N −1 ,ϕ
N −1 ) dθ
N −1 dϕ
N −1 ,
(4.19)
o` u δ est la masse de Dirac et u i est le vecteur unitaire d’angles d’Euler (θ i ,ϕ i ).
En introduisant alors la valeur de ψ donn´ ee par (4.16), on peut montrer par
un calcul simple mais un peu fastidieux qu’une bonne approximation de P ,
pour N grand, est
P (r)
N grand
≈
3
2π(N − 1)a 2
3/2
e
−3r
2 /2(N −1)a
2 .
(4.20)
C’est l’approximation que nous adoptons d´ esormais de sorte que la distribution du vecteur bout-` a-bout est une loi gaussienne. L’exercice suivant permet
de montrer qu’on n’a pas fait trop d’erreur par cette approximation.
Exercice 4.3. Calculer de nouveau la moyenne < r
2 >, cette fois ` a l’aide de
la probabilit´ e (4.20). Comparer ` a (4.18).
L’id´ ee est alors de purement et simplement se d´ ebarrasser de la description
des N boules li´ ees par N − 1 liaisons et de ne regarder que le vecteur bout-` about r pour d´ efinir la configuration de la chaˆ ıne polym´ erique (voir Figure 4.3).
On parle alors de mod` ele d’halt` ere, puisqu’il ne subsiste de la chaˆ ıne que deux
boules reli´ ees par une tige.
4.2.2 Le mod` ele d’halt` eres
Il nous faut maintenant donner une raideur `
alatiger. Cette raideur traduira
le fait que la chaˆ ıne polym´ erique a plus ou moins de configurations possibles
selon que |r| est grand ou petit. En effet, par exemple pour |r| =(N − 1)a,l a
chaˆ ıne est forc´ ement compl` etement tendue (tous les angles sont nuls), et donc
il n’y a qu’une seule configuration de la chaˆ ıne `
a N boules qui correspond `
a
une ´ elongation r telle que |r| =( N − 1)a. En revanche pour |r| < (N − 1)a,
plusieurs configurations bien diff´ erentes de la chaˆ ıne peuvent aboutir in fine
au mˆ eme vecteur r. Evaluons cela.
Fig. 4.3. Une chaˆ ıne polym´ erique r´ eelle d’une trentaine d’ ”atomes” et sa
mod´ elisation ph´ enom` enologique sous forme d’halt` ere.
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
P (r)=
δ(r −
N −1
i=1
au i )ψ(θ
N −1 ,ϕ
N −1 ) dθ
N −1 dϕ
N −1 ,
(4.19)
o` u δ est la masse de Dirac et u i est le vecteur unitaire d’angles d’Euler (θ i ,ϕ i ).
En introduisant alors la valeur de ψ donn´ ee par (4.16), on peut montrer par
un calcul simple mais un peu fastidieux qu’une bonne approximation de P ,
pour N grand, est
P (r)
N grand
≈
3
2π(N − 1)a 2
3/2
e
−3r
2 /2(N −1)a
2 .
(4.20)
C’est l’approximation que nous adoptons d´ esormais de sorte que la distribution du vecteur bout-` a-bout est une loi gaussienne. L’exercice suivant permet
de montrer qu’on n’a pas fait trop d’erreur par cette approximation.
Exercice 4.3. Calculer de nouveau la moyenne < r
2 >, cette fois ` a l’aide de
la probabilit´ e (4.20). Comparer ` a (4.18).
L’id´ ee est alors de purement et simplement se d´ ebarrasser de la description
des N boules li´ ees par N − 1 liaisons et de ne regarder que le vecteur bout-` about r pour d´ efinir la configuration de la chaˆ ıne polym´ erique (voir Figure 4.3).
On parle alors de mod` ele d’halt` ere, puisqu’il ne subsiste de la chaˆ ıne que deux
boules reli´ ees par une tige.
4.2.2 Le mod` ele d’halt` eres
Il nous faut maintenant donner une raideur `
alatiger. Cette raideur traduira
le fait que la chaˆ ıne polym´ erique a plus ou moins de configurations possibles
selon que |r| est grand ou petit. En effet, par exemple pour |r| =(N − 1)a,l a
chaˆ ıne est forc´ ement compl` etement tendue (tous les angles sont nuls), et donc
il n’y a qu’une seule configuration de la chaˆ ıne `
a N boules qui correspond `
a
une ´ elongation r telle que |r| =( N − 1)a. En revanche pour |r| < (N − 1)a,
plusieurs configurations bien diff´ erentes de la chaˆ ıne peuvent aboutir in fine
au mˆ eme vecteur r. Evaluons cela.
Fig. 4.3. Une chaˆ ıne polym´ erique r´ eelle d’une trentaine d’ ”atomes” et sa
mod´ elisation ph´ enom` enologique sous forme d’halt` ere.