4.2 Mod´ elisation micro-macro des fluides polym´ eriques
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bout-` a-bout (ou connecteur) et qui relie la premi` ere boule `
al aN -i` eme (voir
Figure 4.2). Ce vecteur peut s’´ ecrire comme la somme
r =
N −1
i=1
au i
(4.15)
o` u le vecteur u i est le vecteur unitaire d´ efinissant la direction de la i-` eme
liaison.
En toute g´ en´ eralit´ e (on extrait pour un instant la chaˆ ıne polym´ erique du
solvant o` u elle se trouve, et on la regarde `
al ’ ´ equilibre), la probabilit´ eq u el a
i-` eme liaison figure avec le couple d’angles d’Euler (θ i ,ϕ i ) est
ψ i (θ i ,ϕ i )=
1
4π
sin θ i ,
dans ce mod` ele simple. Il suffit pour le voir de r´ ealiser qu’on a choisi au hasard
un point sur la sph` ere unit´ e avec la probabilit´ e uniforme.
Comme chaque liaison est suppos´ ee orient´ ee ind´ ependamment de la pr´ ec´ edente, la probabilit´ e d’avoir la chaˆ ıne compl` ete dans la configuration d’angles
(θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )
est le simple produit
ψ(θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )=
1
4π
N −1 N −1
i=1
sin θ i .
(4.16)
Toute quantit´ e B qui d´ epend de l’´ etat de conformation de la chaˆ ıne pourra
alors ˆ etre calcul´ ee par la moyenne
=
B(θ
N −1 ,ϕ
N −1 ) ψ(θ
N −1 ,ϕ
N −1 ) dθ
N −1 dϕ
N −1
(4.17)
o` uo nan o t ´ e θ
N −1 =(θ 1 , ..., θ N −1 ), ϕ
N −1 =(ϕ 1 , ..., ϕ N −1 ).
L’exercice suivant illustre l’utilisation de cette formule pour une grandeur
B particuli` ere qui va jouer un rˆ ole dans la suite.
Exercice 4.2. On veut ´ evaluer la moyenne < r
2 > du carr´ e du module du
vecteur bout-` a-bout r. Utiliser la formule (4.17) pour montrer que
< r
2 >=(N − 1)a
2
(4.18)
o` u, on le rappelle, a est la longueur de liaison entre deux boules cons´ ecutives.
Dans le but de simplifier le mod` ele, on va alors se concentrer sur le vecteur
bout-` a-bout r. La probabilit´ e qu’il ait pr´ ecis´ ement la valeur r est
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bout-` a-bout (ou connecteur) et qui relie la premi` ere boule `
al aN -i` eme (voir
Figure 4.2). Ce vecteur peut s’´ ecrire comme la somme
r =
N −1
i=1
au i
(4.15)
o` u le vecteur u i est le vecteur unitaire d´ efinissant la direction de la i-` eme
liaison.
En toute g´ en´ eralit´ e (on extrait pour un instant la chaˆ ıne polym´ erique du
solvant o` u elle se trouve, et on la regarde `
al ’ ´ equilibre), la probabilit´ eq u el a
i-` eme liaison figure avec le couple d’angles d’Euler (θ i ,ϕ i ) est
ψ i (θ i ,ϕ i )=
1
4π
sin θ i ,
dans ce mod` ele simple. Il suffit pour le voir de r´ ealiser qu’on a choisi au hasard
un point sur la sph` ere unit´ e avec la probabilit´ e uniforme.
Comme chaque liaison est suppos´ ee orient´ ee ind´ ependamment de la pr´ ec´ edente, la probabilit´ e d’avoir la chaˆ ıne compl` ete dans la configuration d’angles
(θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )
est le simple produit
ψ(θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )=
1
4π
N −1 N −1
i=1
sin θ i .
(4.16)
Toute quantit´ e B qui d´ epend de l’´ etat de conformation de la chaˆ ıne pourra
alors ˆ etre calcul´ ee par la moyenne
=
B(θ
N −1 ,ϕ
N −1 ) ψ(θ
N −1 ,ϕ
N −1 ) dθ
N −1 dϕ
N −1
(4.17)
o` uo nan o t ´ e θ
N −1 =(θ 1 , ..., θ N −1 ), ϕ
N −1 =(ϕ 1 , ..., ϕ N −1 ).
L’exercice suivant illustre l’utilisation de cette formule pour une grandeur
B particuli` ere qui va jouer un rˆ ole dans la suite.
Exercice 4.2. On veut ´ evaluer la moyenne < r
2 > du carr´ e du module du
vecteur bout-` a-bout r. Utiliser la formule (4.17) pour montrer que
< r
2 >=(N − 1)a
2
(4.18)
o` u, on le rappelle, a est la longueur de liaison entre deux boules cons´ ecutives.
Dans le but de simplifier le mod` ele, on va alors se concentrer sur le vecteur
bout-` a-bout r. La probabilit´ e qu’il ait pr´ ecis´ ement la valeur r est