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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Sous l’effet des forces m´ ecaniques pr´ esentes dans le fluide, mais aussi sous
l’effet de l’intense bombardement mol´ eculaire auquel la chaˆ ıne est soumise
de la part des mol´ ecules qui composent le solvant, la chaˆ ıne s’agite et se
d´ eforme. Les angles entre liaisons changent, les liaisons s’allongent, et dans
des situations extr` emes, les chaˆ ınes peuvent mˆ eme se casser.
La contribution au tenseur des contraintes τ p (t, x) est la r´ esultante de
la r´ eaction de chaque chaˆ ıne `
a ces sollicitations, somm´ ee sur le nombre
consid´ erable de chaˆ ınes polym´ eriques pr´ esentes au point macroscopique x.
Explicitons cela.
4.2.1 Le mod` ele de la chaˆ ıne libre
Il n’est pas raisonnable de vouloir traiter explicitement la dynamique de
chaque chaˆ ıne et d’ensuite sommer sur toutes les chaˆ ınes. Il vaut mieux raisonner en termes de physique statistique, c’est-` a-dire choisir un repr´ esentant
de l’ensemble des chaˆ ınes, regarder son ´ evolution, et effectuer une moyenne.
Autrement dit, en chaque point x on introduit une densit´ ed ep r o b a b i l i t ´ e ψ
qui est d´ efinie sur l’espace
(l 1 ,l 2 , ..., l N −1 ,θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )
des longueurs atomiques et angles de la chaˆ ıne type. Ainsi
ψ(l 1 ,l 2 , ..., l N −1 ,θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )
(4.14)
sera la probabilit´ eq u el ac h a ˆ ıne ait pour longueur interatomique entre ses
atomes 1 et 2 la longueur l 1 , etc... Nous allons alors ´ ecrire une ´ equation
d’´ evolution sur cette probabilit´ e ψ,´ equation qui tiendra compte de l’environnement de la chaˆ ıne. On exprimera alors la contribution au tenseur des
contraintes comme la somme pond´ er´ ee par ψ de la r´ eponse de la chaˆ ıne dans
chacune de ses configurations. Mettons en oeuvre cela sur un cas simple.
On suppose d´ esormais que la chaˆ ıne est un assemblage lin´ eaire de N boules
(ses atomes) reli´ ees entre elles par des tiges sans masse (les liaisons). Signalons
tout de suite que les boules pouvent aussi bien repr´ esenter des “atomes” que
des groupes d’ ”atomes” (lesquels sont des groupes de monom` eres), de sorte
q u el en o m b r eN peut ˆ etre consid´ erablement plus faible que le nombre r´ eel
d’atomes (au sens chimique) composant la chaˆ ıne polym´ erique. On prendra
plus loin N = 2 pour simuler des chaˆ ınes de plusieurs milliers d’atomes.
Le mod` ele est bien sˆ ur ph´ enom´ enologique. L’assemblage ainsi constitu´ e est
suppos´ e totalement libre, c’est ` a dire qu’il ne r´ esiste pas aux rotations. La
longueur des liaisons, elle, est suppos´ ee fix´ ee d´ efinitivement `
a une valeur a,de
sorte que l i = a pour tout i dans (4.14).
On introduit aussi le vecteur r (not´ e exceptionnellement en gras dans
toute la suite pour qu’on ne confonde pas vecteur et longueur) appel´ e vecteur
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
Sous l’effet des forces m´ ecaniques pr´ esentes dans le fluide, mais aussi sous
l’effet de l’intense bombardement mol´ eculaire auquel la chaˆ ıne est soumise
de la part des mol´ ecules qui composent le solvant, la chaˆ ıne s’agite et se
d´ eforme. Les angles entre liaisons changent, les liaisons s’allongent, et dans
des situations extr` emes, les chaˆ ınes peuvent mˆ eme se casser.
La contribution au tenseur des contraintes τ p (t, x) est la r´ esultante de
la r´ eaction de chaque chaˆ ıne `
a ces sollicitations, somm´ ee sur le nombre
consid´ erable de chaˆ ınes polym´ eriques pr´ esentes au point macroscopique x.
Explicitons cela.
4.2.1 Le mod` ele de la chaˆ ıne libre
Il n’est pas raisonnable de vouloir traiter explicitement la dynamique de
chaque chaˆ ıne et d’ensuite sommer sur toutes les chaˆ ınes. Il vaut mieux raisonner en termes de physique statistique, c’est-` a-dire choisir un repr´ esentant
de l’ensemble des chaˆ ınes, regarder son ´ evolution, et effectuer une moyenne.
Autrement dit, en chaque point x on introduit une densit´ ed ep r o b a b i l i t ´ e ψ
qui est d´ efinie sur l’espace
(l 1 ,l 2 , ..., l N −1 ,θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )
des longueurs atomiques et angles de la chaˆ ıne type. Ainsi
ψ(l 1 ,l 2 , ..., l N −1 ,θ 1 ,ϕ 1 , ..., θ N −1 ,ϕ N −1 )
(4.14)
sera la probabilit´ eq u el ac h a ˆ ıne ait pour longueur interatomique entre ses
atomes 1 et 2 la longueur l 1 , etc... Nous allons alors ´ ecrire une ´ equation
d’´ evolution sur cette probabilit´ e ψ,´ equation qui tiendra compte de l’environnement de la chaˆ ıne. On exprimera alors la contribution au tenseur des
contraintes comme la somme pond´ er´ ee par ψ de la r´ eponse de la chaˆ ıne dans
chacune de ses configurations. Mettons en oeuvre cela sur un cas simple.
On suppose d´ esormais que la chaˆ ıne est un assemblage lin´ eaire de N boules
(ses atomes) reli´ ees entre elles par des tiges sans masse (les liaisons). Signalons
tout de suite que les boules pouvent aussi bien repr´ esenter des “atomes” que
des groupes d’ ”atomes” (lesquels sont des groupes de monom` eres), de sorte
q u el en o m b r eN peut ˆ etre consid´ erablement plus faible que le nombre r´ eel
d’atomes (au sens chimique) composant la chaˆ ıne polym´ erique. On prendra
plus loin N = 2 pour simuler des chaˆ ınes de plusieurs milliers d’atomes.
Le mod` ele est bien sˆ ur ph´ enom´ enologique. L’assemblage ainsi constitu´ e est
suppos´ e totalement libre, c’est ` a dire qu’il ne r´ esiste pas aux rotations. La
longueur des liaisons, elle, est suppos´ ee fix´ ee d´ efinitivement `
a une valeur a,de
sorte que l i = a pour tout i dans (4.14).
On introduit aussi le vecteur r (not´ e exceptionnellement en gras dans
toute la suite pour qu’on ne confonde pas vecteur et longueur) appel´ e vecteur