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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
celui des mauvais solvants dans lesquels les polym` eres se recroquevillent (une
peinture dans de l’eau).
Diff´ erents cas se pr´ esentent aussi du point de vue de la concentration
de la solution. La solution peut ˆ etre peu concentr´ ee, et plus pr´ ecis´ ement, ce
qui est le cas particulier que nous consid´ ererons dans toute la suite, infiniment dilu´ ee, ce qui signifie que les chaˆ ınes polym´ eriques qui “flottent” dans
le solvant n’interagissent pas les unes avec les autres car elles sont loin les
unes des autres. Ceci est clairement une restriction, une immense majorit´ e
des fluides polym´ eriques “int´ eressants” ´ etant ce qu’on appelle des polym` eres
fondus,o `
u la densit´ e de polym` eres est beaucoup plus importante. Dans ce
cas, la solution est suffisamment concentr´ ee pour que les diff´ erentes chaˆ ınes
s’interp´ en` etrent. Les polym` eres fondus se comportent comme un plat de spaghettis entrelac´ es et la dynamique du fluide est alors franchement diff´ erente
du cas que nous allons regarder ici. La mod´ elisation d’une telle dynamique
est bas´ ee sur le concept de reptation introduit par De Gennes : une chaˆ ıne
polym´ erique rampe dans le tube form´ ep a rl e sc h a ˆ ınes qui l’entourent. Dans
le cas des polym` eres concentr´ es, des mod` eles purement macroscopiques et des
mod` eles micro-macro existent aussi. Il sont bas´ es sur une physique un peu
diff´ erente et certainement plus complexe, mais vont comporter des difficult´ es
similaires pour la simulation num´ erique. Il est donc l´ egitime de traiter dans
ce cours introductif des solutions infiniment dilu´ ees.
Dans le cas des solutions concentr´ ees, on peut alors ´ eventuellement cr´ eer
des liaisons (des ponts )entrelescha ˆ ınes : on parle de polym` eres r´ eticul´ es.Sile
taux de r´ eticulation est suffisant, il se forme alors un v´ eritable r´ eseau qui a une
r´ esistance m´ ecanique et se comporte comme un solide. Le solvant exerce une
pression sur le r´ eseau, le maintenant en l’´ etat, et r´ eciproquement, le r´ eseau
emprisonne le solvant, l’emp` echant de couler. Ainsi, un exemple de polym` ere
mod´ er´ ement r´ eticul´ e est l’´ elastom` ere du mat´ eriau caoutchouteux constitutif
des pneus (le solvant est le polym` ere lui-mˆ eme), et un exemple de polym` ere
tr` es r´ eticul´ e est une r´ esine, un plastique rigide. L’´ etude des mat´ eriaux caoutchouteux des pneus peut aussi ˆ etre abord´ ee par des m´ ethodes micro-macro, ` a
la fois dans l’esprit de celles d´ ecrites dans ce chapitre et se rapprochant aussi
des m´ ethodes du Chapitre 1.
Focalisons-nous maintenant sur la mod´ elisation micromacro d’une solution
polym´ erique infiniment dilu´ ee.
En chaque point macroscopique x du fluide, on regarde donc avec une
“loupe” (voir Figure 4.1), pour tenter d’´ evaluer la contribution τ p au tenseur
des contraintes qu’apporte la pr´ esence de chaˆ ınes polym´ eriques qui s’agitent
dans le fluide.
Chimiquement, une chaˆ ıne polym´ erique est, on l’a dit, une longue chaˆ ıne,
comme par exemple le poly´ ethyl` ene (CH 3 ) − (CH 2 ) n − (CH 3 ). Pour nous,
une chaˆ ıne polym´ erique est mod´ elis´ ee comme un objet de la Figure 4.2. On
la voit donc comme un objet purement m´ ecanique. On oublie ici les subtilit´ es
li´ ees ` as as t r u c t u r e´ electronique, `
as am o d ´ elisation quantique, etc... toutes
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
celui des mauvais solvants dans lesquels les polym` eres se recroquevillent (une
peinture dans de l’eau).
Diff´ erents cas se pr´ esentent aussi du point de vue de la concentration
de la solution. La solution peut ˆ etre peu concentr´ ee, et plus pr´ ecis´ ement, ce
qui est le cas particulier que nous consid´ ererons dans toute la suite, infiniment dilu´ ee, ce qui signifie que les chaˆ ınes polym´ eriques qui “flottent” dans
le solvant n’interagissent pas les unes avec les autres car elles sont loin les
unes des autres. Ceci est clairement une restriction, une immense majorit´ e
des fluides polym´ eriques “int´ eressants” ´ etant ce qu’on appelle des polym` eres
fondus,o `
u la densit´ e de polym` eres est beaucoup plus importante. Dans ce
cas, la solution est suffisamment concentr´ ee pour que les diff´ erentes chaˆ ınes
s’interp´ en` etrent. Les polym` eres fondus se comportent comme un plat de spaghettis entrelac´ es et la dynamique du fluide est alors franchement diff´ erente
du cas que nous allons regarder ici. La mod´ elisation d’une telle dynamique
est bas´ ee sur le concept de reptation introduit par De Gennes : une chaˆ ıne
polym´ erique rampe dans le tube form´ ep a rl e sc h a ˆ ınes qui l’entourent. Dans
le cas des polym` eres concentr´ es, des mod` eles purement macroscopiques et des
mod` eles micro-macro existent aussi. Il sont bas´ es sur une physique un peu
diff´ erente et certainement plus complexe, mais vont comporter des difficult´ es
similaires pour la simulation num´ erique. Il est donc l´ egitime de traiter dans
ce cours introductif des solutions infiniment dilu´ ees.
Dans le cas des solutions concentr´ ees, on peut alors ´ eventuellement cr´ eer
des liaisons (des ponts )entrelescha ˆ ınes : on parle de polym` eres r´ eticul´ es.Sile
taux de r´ eticulation est suffisant, il se forme alors un v´ eritable r´ eseau qui a une
r´ esistance m´ ecanique et se comporte comme un solide. Le solvant exerce une
pression sur le r´ eseau, le maintenant en l’´ etat, et r´ eciproquement, le r´ eseau
emprisonne le solvant, l’emp` echant de couler. Ainsi, un exemple de polym` ere
mod´ er´ ement r´ eticul´ e est l’´ elastom` ere du mat´ eriau caoutchouteux constitutif
des pneus (le solvant est le polym` ere lui-mˆ eme), et un exemple de polym` ere
tr` es r´ eticul´ e est une r´ esine, un plastique rigide. L’´ etude des mat´ eriaux caoutchouteux des pneus peut aussi ˆ etre abord´ ee par des m´ ethodes micro-macro, ` a
la fois dans l’esprit de celles d´ ecrites dans ce chapitre et se rapprochant aussi
des m´ ethodes du Chapitre 1.
Focalisons-nous maintenant sur la mod´ elisation micromacro d’une solution
polym´ erique infiniment dilu´ ee.
En chaque point macroscopique x du fluide, on regarde donc avec une
“loupe” (voir Figure 4.1), pour tenter d’´ evaluer la contribution τ p au tenseur
des contraintes qu’apporte la pr´ esence de chaˆ ınes polym´ eriques qui s’agitent
dans le fluide.
Chimiquement, une chaˆ ıne polym´ erique est, on l’a dit, une longue chaˆ ıne,
comme par exemple le poly´ ethyl` ene (CH 3 ) − (CH 2 ) n − (CH 3 ). Pour nous,
une chaˆ ıne polym´ erique est mod´ elis´ ee comme un objet de la Figure 4.2. On
la voit donc comme un objet purement m´ ecanique. On oublie ici les subtilit´ es
li´ ees ` as as t r u c t u r e´ electronique, `
as am o d ´ elisation quantique, etc... toutes