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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
o` ul aq u a n t i t ´ e S t ′ d´ esigne une quantit´ ed ´ ependant de ∇u,e to` u l’int´ egrale est
prise le long d’une ligne de courant passant par x.
Que ce soit sur l’une ou l’autre des formes (4.11) et (4.12), on constate
que le point crucial est que le tenseur des contraintes τ p (t, x)n ed ´ epend pas
seulement de la d´ eformation au point x et au temps t, comme dans une formule du type (4.5), mais d´ epend de l’histoire de la d´ eformation en tous les
points de la ligne de courant amenant `
a x pour les instants ant´ erieurs t
′ . C’est
particuli` erement explicite sur la forme (4.12), mais ceci se lit aussi sur (4.11).
En pratique, le syst` eme global qu’on devra simuler est
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f,
div u =0
Dτ p
Dt
= F (τ p , ∇u),
(4.13)
Un tel syst` eme est appel´ e probl` eme `
a trois champs : la vitesse u, la pression p,
la contrainte τ p . Il est donc significativement plus compliqu´ e` ar ´ esoudre que
le “simple” probl` eme newtonien (4.9) avec τ p =0,o` u figurent seulement deux
champs ` ad ´ eterminer, la vitesse et la pression (le tenseur des contraintes s’en
d´ eduit).
Sa simulation num´ erique peut s’av´ erer tr` es lourde. Cependant, le principal souci avec ce type de syst` emes est une difficult´ e essentielle li´ ee ` al a
mod´ elisation : il faut ´ etablir une relation du type (4.11) ou (4.12) `
ap a r t i rd e
la connaissance (partielle souvent) des propri´ et´ es physiques du fluide. Pour de
nombreux fluides, on ne sait pas trouver une bonne loi.
Il est donc utile de disposer d’une approche alternative, bas´ ee directement
sur le niveau microscopique. Cette approche permettra d’aborder des cas o` u
on ne connaˆ ıt pas n´ ecessairement bien le comportement macroscopique du
fluide. Plus pr´ ecis´ ement, une telle approche permettra d’´ eviter de faire des
hypoth` eses simplificatrices superflues dans le but de vouloir `
at o u tp r i xo b -
tenir une relation du type (4.11) ou (4.12). De telles hypoth` eses, appel´ ees
hypoth` eses de clˆ oture, sont en effet particuli` erement dangereuses dans les cas
mal connus, car on ne sait pas bien mesurer leur impact sur la qualit´ ed el a
simulation finale. Mieux vaut donc s’en affranchir, et d´ ecider de se concentrer
sur l’´ echelle microscopique en faisant directement passer son information au
niveau macroscopique, sans passer par le biais simplificateur d’une relation
du type (4.11) ou (4.12)
Malheureusement, une telle approche a aussi un prix : la lourdeur des
calculs, et c’est pourquoi dans les simulations num´ eriques actuelles, on utilise alternativement les syst` emes du type (4.13) ou les syst` emes micro-macro
que nous allons voir. D’un point de vue industriel, les syst` emes (4.13) sont
clairement plus employ´ es (et d’ailleurs la litt´ erature qui est consacr´ ee ` ad e
tels mod` eles est ´ enorme), mais les syst` emes micro-macro ont sans doute plus
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
o` ul aq u a n t i t ´ e S t ′ d´ esigne une quantit´ ed ´ ependant de ∇u,e to` u l’int´ egrale est
prise le long d’une ligne de courant passant par x.
Que ce soit sur l’une ou l’autre des formes (4.11) et (4.12), on constate
que le point crucial est que le tenseur des contraintes τ p (t, x)n ed ´ epend pas
seulement de la d´ eformation au point x et au temps t, comme dans une formule du type (4.5), mais d´ epend de l’histoire de la d´ eformation en tous les
points de la ligne de courant amenant `
a x pour les instants ant´ erieurs t
′ . C’est
particuli` erement explicite sur la forme (4.12), mais ceci se lit aussi sur (4.11).
En pratique, le syst` eme global qu’on devra simuler est
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f,
div u =0
Dτ p
Dt
= F (τ p , ∇u),
(4.13)
Un tel syst` eme est appel´ e probl` eme `
a trois champs : la vitesse u, la pression p,
la contrainte τ p . Il est donc significativement plus compliqu´ e` ar ´ esoudre que
le “simple” probl` eme newtonien (4.9) avec τ p =0,o` u figurent seulement deux
champs ` ad ´ eterminer, la vitesse et la pression (le tenseur des contraintes s’en
d´ eduit).
Sa simulation num´ erique peut s’av´ erer tr` es lourde. Cependant, le principal souci avec ce type de syst` emes est une difficult´ e essentielle li´ ee ` al a
mod´ elisation : il faut ´ etablir une relation du type (4.11) ou (4.12) `
ap a r t i rd e
la connaissance (partielle souvent) des propri´ et´ es physiques du fluide. Pour de
nombreux fluides, on ne sait pas trouver une bonne loi.
Il est donc utile de disposer d’une approche alternative, bas´ ee directement
sur le niveau microscopique. Cette approche permettra d’aborder des cas o` u
on ne connaˆ ıt pas n´ ecessairement bien le comportement macroscopique du
fluide. Plus pr´ ecis´ ement, une telle approche permettra d’´ eviter de faire des
hypoth` eses simplificatrices superflues dans le but de vouloir `
at o u tp r i xo b -
tenir une relation du type (4.11) ou (4.12). De telles hypoth` eses, appel´ ees
hypoth` eses de clˆ oture, sont en effet particuli` erement dangereuses dans les cas
mal connus, car on ne sait pas bien mesurer leur impact sur la qualit´ ed el a
simulation finale. Mieux vaut donc s’en affranchir, et d´ ecider de se concentrer
sur l’´ echelle microscopique en faisant directement passer son information au
niveau macroscopique, sans passer par le biais simplificateur d’une relation
du type (4.11) ou (4.12)
Malheureusement, une telle approche a aussi un prix : la lourdeur des
calculs, et c’est pourquoi dans les simulations num´ eriques actuelles, on utilise alternativement les syst` emes du type (4.13) ou les syst` emes micro-macro
que nous allons voir. D’un point de vue industriel, les syst` emes (4.13) sont
clairement plus employ´ es (et d’ailleurs la litt´ erature qui est consacr´ ee ` ad e
tels mod` eles est ´ enorme), mais les syst` emes micro-macro ont sans doute plus