4.1 El´ ements de m´ ecanique des fluides incompressibles
131
´ equation qui, assortie de la condition div u = 0, forme ce que le lecteur reconnaˆ ıt comme l’´ equation de Navier-Stokes des fluides newtoniens visqueux
incompressibles homog` enes.
Cependant, pour un fluide (visqueux incompressible et homog` ene) qui
n’ob´ eirait pas aux hypoth` eses simplificatrices menant ` a (4.5), il faudrait utiliser le syst` eme
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f
div u =0
(4.9)
o` u le tenseur des contraintes visqueuses τ a´ et´ ed ´ ecompos´ e selon
τ = τ n + τ p
(4.10)
avec τ n sa partie newtonienne (c’est-` a-dire s’exprimant par (4.5)) et τ p
(p comme polym` ere) qui figure la partie du tenseur des contraintes τ qui
n’ob´ eirait pas `
al as i m p l em o d ´ elisation newtonienne, et qui pourrait faire
l’objet d’une relation non standard du type (4.4). C’est un tel fluide que nous
allons ´ etudier d´ esormais.
Pour un tel fluide, il existe des mod´ elisations purement macroscopiques,
c’est-` a-dire des mod´ elisations bas´ ees uniquement sur la m´ ecanique des milieux continus (mˆ eme si la d´ erivation de tels mod´ elisations peut en fait faire
intervenir des notions autres, il ne reste in fine qu’un mod` ele en termes de
m´ ecanique du continuum).
L’id´ ee est d’´ ecrire une ´ equation sur l’´ evolution de la partie non newtonienne τ p du tenseur des contraintes, et/ou sur la relation entre τ p et les autres
grandeurs caract´ erisant la dynamique du fluide comme ∇u ou le tenseur des
d´ eformations d. Cette ´ equation s’´ ecrit par exemple
Dτ p
Dt
= F (τ p , ∇u),
(4.11)
o` uo nan o t ´ e
Dτ
Dt
la d´ eriv´ ee convective du tenseur τ ,` as a v o i r
Dτ
Dt
=
∂τ
∂t
+( u ·∇) τ.
Quand on choisit une relation du type (4.11) pour exprimer τ p , on dit qu’on
adopte un mod` ele diff´ erentiel pour le fluide non newtonien. Un exemple de
relation (4.11) est l’´ equation (4.37) dite de Oldroyd B, ´ evoqu´ ee ` a l’Exercice 4.8,
ainsi qu’` al aR e m a r q u e4 . 5 .
Une autre option consiste `
a choisir un mod` ele dit mod` ele int´ egral
τ p (t, x)=
t
−∞
m(t − t
′ )S t ′ dt
′ ,
(4.12)
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´ equation qui, assortie de la condition div u = 0, forme ce que le lecteur reconnaˆ ıt comme l’´ equation de Navier-Stokes des fluides newtoniens visqueux
incompressibles homog` enes.
Cependant, pour un fluide (visqueux incompressible et homog` ene) qui
n’ob´ eirait pas aux hypoth` eses simplificatrices menant ` a (4.5), il faudrait utiliser le syst` eme
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p − div τ p = f
div u =0
(4.9)
o` u le tenseur des contraintes visqueuses τ a´ et´ ed ´ ecompos´ e selon
τ = τ n + τ p
(4.10)
avec τ n sa partie newtonienne (c’est-` a-dire s’exprimant par (4.5)) et τ p
(p comme polym` ere) qui figure la partie du tenseur des contraintes τ qui
n’ob´ eirait pas `
al as i m p l em o d ´ elisation newtonienne, et qui pourrait faire
l’objet d’une relation non standard du type (4.4). C’est un tel fluide que nous
allons ´ etudier d´ esormais.
Pour un tel fluide, il existe des mod´ elisations purement macroscopiques,
c’est-` a-dire des mod´ elisations bas´ ees uniquement sur la m´ ecanique des milieux continus (mˆ eme si la d´ erivation de tels mod´ elisations peut en fait faire
intervenir des notions autres, il ne reste in fine qu’un mod` ele en termes de
m´ ecanique du continuum).
L’id´ ee est d’´ ecrire une ´ equation sur l’´ evolution de la partie non newtonienne τ p du tenseur des contraintes, et/ou sur la relation entre τ p et les autres
grandeurs caract´ erisant la dynamique du fluide comme ∇u ou le tenseur des
d´ eformations d. Cette ´ equation s’´ ecrit par exemple
Dτ p
Dt
= F (τ p , ∇u),
(4.11)
o` uo nan o t ´ e
Dτ
Dt
la d´ eriv´ ee convective du tenseur τ ,` as a v o i r
Dτ
Dt
=
∂τ
∂t
+( u ·∇) τ.
Quand on choisit une relation du type (4.11) pour exprimer τ p , on dit qu’on
adopte un mod` ele diff´ erentiel pour le fluide non newtonien. Un exemple de
relation (4.11) est l’´ equation (4.37) dite de Oldroyd B, ´ evoqu´ ee ` a l’Exercice 4.8,
ainsi qu’` al aR e m a r q u e4 . 5 .
Une autre option consiste `
a choisir un mod` ele dit mod` ele int´ egral
τ p (t, x)=
t
−∞
m(t − t
′ )S t ′ dt
′ ,
(4.12)