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4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
T = −pId + τ,
(4.3)
o` u p est la pression et τ le tenseur des contraintes visqueuses. Pour fermer ces
´ equations, il nous faut une relation constitutive liant le tenseur des contraintes
visqueuses τ et le champ de vitesse u, c’est-` a-dire une relation
τ = τ (u,ρ,...).
(4.4)
Remarque 4.1. Bien noter que cette relation est symbolique, dans la mesure
o` u elle peut aussi faire figurer des d´ eriv´ ees en temps et en espace des quantit´ es
impliqu´ ees τ , u, ρ, ...
Sous les hypoth` eses que τ est une fonction lin´ eaire de u,q u eτ est invariant par changement de r´ ef´ erentiel galil´ een, et que le fluide a des propri´ et´ es
physiques isotropes, on peut affirmer que la forme de la relation liant τ et u
est n´ ecessairement
τ = λ (div u) Id +2 µd
(4.5)
o` u λ et µ sont deux coefficients r´ eels (dits les coefficients de Lam´ e), en toute
g´ en´ eralit´ e fonctions de ρ et de la temp´ erature, et o` u d est le tenseur des
d´ eformations lin´ earis´ e
d =
1
2
(∇u +
t ∇u).
(4.6)
Sous de telles hypoth` eses, on parle de fluide newtonien.L at h ´ eorie cin´ etique
des gaz permet de plus de montrer que λ = −
2
3
µ, et il est courant de prendre
ces coefficients constants.
L’ensemble des ´ equations (4.1)-(4.2)-(4.3)-(4.5)-(4.6) permet alors de d´ ecrire le mouvement du fluide. Quand on prend en compte les ph´ enom` enes li´ es
` al at e m p ´ erature, il faut adjoindre `
a ces ´ equations une ´ equation d’´ evolution
de l’´ energie et une ´ equation d’´ etat reliant la pression p, la masse volumique
ρ et la temp´ erature T . Ici, nous ferons abstraction de tels ph´ enom` enes. Les
´ equations (4.1)-(4.2)-(4.3)-(4.5)-(4.6) suffisent alors, car la d´ etermination de
la pression se fera via l’hypoth` ese suppl´ ementaire d’incompressibilit´ e que nous
d´ etaillons maintenant.
Supposons alors de plus que le fluide est incompressible,i.e.
div u = 0
(4.7)
et de masse volumique constante (on parle de fluide homog` ene)
ρ = ρ 0 = 1 (pour fixer les id´ ees).
La conservation du mouvement se r´ ecrit alors
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p = f,
(4.8)
4 Mod` eles micro-macro pour les fluides
T = −pId + τ,
(4.3)
o` u p est la pression et τ le tenseur des contraintes visqueuses. Pour fermer ces
´ equations, il nous faut une relation constitutive liant le tenseur des contraintes
visqueuses τ et le champ de vitesse u, c’est-` a-dire une relation
τ = τ (u,ρ,...).
(4.4)
Remarque 4.1. Bien noter que cette relation est symbolique, dans la mesure
o` u elle peut aussi faire figurer des d´ eriv´ ees en temps et en espace des quantit´ es
impliqu´ ees τ , u, ρ, ...
Sous les hypoth` eses que τ est une fonction lin´ eaire de u,q u eτ est invariant par changement de r´ ef´ erentiel galil´ een, et que le fluide a des propri´ et´ es
physiques isotropes, on peut affirmer que la forme de la relation liant τ et u
est n´ ecessairement
τ = λ (div u) Id +2 µd
(4.5)
o` u λ et µ sont deux coefficients r´ eels (dits les coefficients de Lam´ e), en toute
g´ en´ eralit´ e fonctions de ρ et de la temp´ erature, et o` u d est le tenseur des
d´ eformations lin´ earis´ e
d =
1
2
(∇u +
t ∇u).
(4.6)
Sous de telles hypoth` eses, on parle de fluide newtonien.L at h ´ eorie cin´ etique
des gaz permet de plus de montrer que λ = −
2
3
µ, et il est courant de prendre
ces coefficients constants.
L’ensemble des ´ equations (4.1)-(4.2)-(4.3)-(4.5)-(4.6) permet alors de d´ ecrire le mouvement du fluide. Quand on prend en compte les ph´ enom` enes li´ es
` al at e m p ´ erature, il faut adjoindre `
a ces ´ equations une ´ equation d’´ evolution
de l’´ energie et une ´ equation d’´ etat reliant la pression p, la masse volumique
ρ et la temp´ erature T . Ici, nous ferons abstraction de tels ph´ enom` enes. Les
´ equations (4.1)-(4.2)-(4.3)-(4.5)-(4.6) suffisent alors, car la d´ etermination de
la pression se fera via l’hypoth` ese suppl´ ementaire d’incompressibilit´ e que nous
d´ etaillons maintenant.
Supposons alors de plus que le fluide est incompressible,i.e.
div u = 0
(4.7)
et de masse volumique constante (on parle de fluide homog` ene)
ρ = ρ 0 = 1 (pour fixer les id´ ees).
La conservation du mouvement se r´ ecrit alors
∂u
∂t
+( u ·∇) u − µ∆u + ∇p = f,
(4.8)