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Mod` eles micro-macro pour les fluides
Nous abordons dans ce chapitre un autre genre de probl` eme multi´ echelle. Il
s’agit de la mod´ elisation des fluides polym´ eriques. Ces fluides sont des solutions dilu´ ees de polym` eres (penser ` a de la colle ` a papier-peint,...) dont les
propri´ et´ es m´ ecaniques ` al ’ ´ echelle macroscopique d´ ependent crucialement de
la microstructure du fluide `
al ’ ´ echelle microscopique. Pour de tels fluides, il
est tr` es difficile de faire une mod´ elisation purement macroscopique, et il faut
g´ erer une mod´ elisation conjointe aux deux ´ echelles. La simulation qui s’ensuit
est dans l’esprit de celle du Chapitre 1, mais il s’agit cette fois de probl` emes
d´ ependant du temps (les probl` emes stationnaires dans ce cadre n’ont gu` ere
de sens), et de fluides au lieu de solides.
4.1 El´ ements de m´ ecanique des fluides incompressibles
Nous commen¸ cons par quelques ´ el´ ements de base sur la mod´ elisation des
fluides incompressibles en termes de m´ ecanique des milieux continus, et sur
leur simulation num´ erique. Cela nous permettra de souligner ensuite les
diff´ erences avec les mod´ elisations micro-macro que nous d´ evelopperons.
Consid´ erons un fluide visqueux de masse volumique ρ et de vitesse u,
soumis ` a une densit´ e volumique de forces ext´ erieures f .S o i tT le tenseur des
contraintes.
L’´ equation de conservation de la masse pour ce fluide s’´ ecrit
∂ρ
∂t
+d i v( ρ u)=0 .
(4.1)
Quant `
a la conservation de la quantit´ e de mouvement, elle s’´ ecrit
∂(ρ u)
∂t
+ div (ρ u ⊗ u) − div T = ρf
(4.2)
Pour un fluide visqueux, le tenseur des contraintes s’exprime comme
Mod` eles micro-macro pour les fluides
Nous abordons dans ce chapitre un autre genre de probl` eme multi´ echelle. Il
s’agit de la mod´ elisation des fluides polym´ eriques. Ces fluides sont des solutions dilu´ ees de polym` eres (penser ` a de la colle ` a papier-peint,...) dont les
propri´ et´ es m´ ecaniques ` al ’ ´ echelle macroscopique d´ ependent crucialement de
la microstructure du fluide `
al ’ ´ echelle microscopique. Pour de tels fluides, il
est tr` es difficile de faire une mod´ elisation purement macroscopique, et il faut
g´ erer une mod´ elisation conjointe aux deux ´ echelles. La simulation qui s’ensuit
est dans l’esprit de celle du Chapitre 1, mais il s’agit cette fois de probl` emes
d´ ependant du temps (les probl` emes stationnaires dans ce cadre n’ont gu` ere
de sens), et de fluides au lieu de solides.
4.1 El´ ements de m´ ecanique des fluides incompressibles
Nous commen¸ cons par quelques ´ el´ ements de base sur la mod´ elisation des
fluides incompressibles en termes de m´ ecanique des milieux continus, et sur
leur simulation num´ erique. Cela nous permettra de souligner ensuite les
diff´ erences avec les mod´ elisations micro-macro que nous d´ evelopperons.
Consid´ erons un fluide visqueux de masse volumique ρ et de vitesse u,
soumis ` a une densit´ e volumique de forces ext´ erieures f .S o i tT le tenseur des
contraintes.
L’´ equation de conservation de la masse pour ce fluide s’´ ecrit
∂ρ
∂t
+d i v( ρ u)=0 .
(4.1)
Quant `
a la conservation de la quantit´ e de mouvement, elle s’´ ecrit
∂(ρ u)
∂t
+ div (ρ u ⊗ u) − div T = ρf
(4.2)
Pour un fluide visqueux, le tenseur des contraintes s’exprime comme