3.3 Mod´ elisation de la phase liquide
125
ce qui conduit `
al ’ ´ equation matricielle,
[A] · [σ]=[g]
avec
[A] ij =
Tj
Tj
a(x, y) dx dy,
[g] i =
Ti
g,
[σ] i d´ esignant la valeur de σ sur T i sous l’approximation de Galerkin P 0 .
Remarque 3.22. La matrice A correspond typiquement `
a la discr´ etisation
d’op´ erateurs de convolution comme celui de la formule (3.62). Du point de vue
alg´ ebrique, il s’agit donc d’une matrice, certes de petite taille (car un maillage
de surface est beaucoup plus petit qu’un maillage de volume !), mais pleine (i.e.
avec beaucoup de coefficients non nuls). La situation alg´ ebrique est donc radicalement diff´ erente de celle rencontr´ ee pour un syst` eme lin´ eaire type issu d’une
discr´ etisation ´ el´ ements finis “habituelle”. La matrice y est alors de grande
taille, mais souvent creuse et mˆ eme du type “bande”, car elle correspond `
al a
discr´ etisation d’un op´ erateur diff´ erentiel, donc local (g´ en´ eralement un laplacien). Les techniques optimales de stockage de la matrice et de r´ esolution du
syst` eme lin´ eaire ne sont donc pas les mˆ emes dans les deux cas. En particulier,
les m´ ethodes directes pour r´ esoudre les syst` emes lin´ eaires sont plus volontiers
comp´ etitives dans le cas de petites matrices pleines.
Remarque 3.23. Du point de vue pratique, signalons un point important. Les
surfaces mol´ eculaires utilis´ ees en pratique en simulation mol´ eculaire sont
form´ ees de morceaux de sph` eres et de tores raccord´ es et on peut envisager
de mailler directement ces surfaces mol´ eculaires dont on connaˆ ıt des expressions analytiques simples dans des cartes locales. On peut alors mener `
a bien
un calcul d’´ el´ ements finis surfaciques directement sur la surface Γ . C’est ce
q u en o u sa v o n sd ´ ecrit ci-dessus. Cependant, il est possible d’avoir recours
alternativement `
a une approximation poly´ edrique de la surface, notamment
dans le but d’acc´ el´ erer les calculs (pour d’autres types de surface, ce recours
est mˆ eme indispensable). On utilise souvent alors l’approximation poly´ edrique
˜
Γ de l’interface Γ obtenue en consid´ erant comme plans les ´ el´ ements T i constituant le maillage (Fig. 3.6). L’approximation de la surface Γ par une surface
poly´ edrique ˜
Γ introduit une erreur pour laquelle on dispose d’une estimation
donn´ ee par l’analyse num´ erique de la m´ ethode.
Connaissant σ ` a ce stade, il suffit maintenant pour calculer E
r (ρ, ρ
′ ), de
remarquer que
E
r (ρ, ρ
′ )=
I R 3
ρ
′ V
r
=
I R 3
ρ
′ (x)
Γ
σ(y)
|x − y|
dy
dx
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ce qui conduit `
al ’ ´ equation matricielle,
[A] · [σ]=[g]
avec
[A] ij =
Tj
Tj
a(x, y) dx dy,
[g] i =
Ti
g,
[σ] i d´ esignant la valeur de σ sur T i sous l’approximation de Galerkin P 0 .
Remarque 3.22. La matrice A correspond typiquement `
a la discr´ etisation
d’op´ erateurs de convolution comme celui de la formule (3.62). Du point de vue
alg´ ebrique, il s’agit donc d’une matrice, certes de petite taille (car un maillage
de surface est beaucoup plus petit qu’un maillage de volume !), mais pleine (i.e.
avec beaucoup de coefficients non nuls). La situation alg´ ebrique est donc radicalement diff´ erente de celle rencontr´ ee pour un syst` eme lin´ eaire type issu d’une
discr´ etisation ´ el´ ements finis “habituelle”. La matrice y est alors de grande
taille, mais souvent creuse et mˆ eme du type “bande”, car elle correspond `
al a
discr´ etisation d’un op´ erateur diff´ erentiel, donc local (g´ en´ eralement un laplacien). Les techniques optimales de stockage de la matrice et de r´ esolution du
syst` eme lin´ eaire ne sont donc pas les mˆ emes dans les deux cas. En particulier,
les m´ ethodes directes pour r´ esoudre les syst` emes lin´ eaires sont plus volontiers
comp´ etitives dans le cas de petites matrices pleines.
Remarque 3.23. Du point de vue pratique, signalons un point important. Les
surfaces mol´ eculaires utilis´ ees en pratique en simulation mol´ eculaire sont
form´ ees de morceaux de sph` eres et de tores raccord´ es et on peut envisager
de mailler directement ces surfaces mol´ eculaires dont on connaˆ ıt des expressions analytiques simples dans des cartes locales. On peut alors mener `
a bien
un calcul d’´ el´ ements finis surfaciques directement sur la surface Γ . C’est ce
q u en o u sa v o n sd ´ ecrit ci-dessus. Cependant, il est possible d’avoir recours
alternativement `
a une approximation poly´ edrique de la surface, notamment
dans le but d’acc´ el´ erer les calculs (pour d’autres types de surface, ce recours
est mˆ eme indispensable). On utilise souvent alors l’approximation poly´ edrique
˜
Γ de l’interface Γ obtenue en consid´ erant comme plans les ´ el´ ements T i constituant le maillage (Fig. 3.6). L’approximation de la surface Γ par une surface
poly´ edrique ˜
Γ introduit une erreur pour laquelle on dispose d’une estimation
donn´ ee par l’analyse num´ erique de la m´ ethode.
Connaissant σ ` a ce stade, il suffit maintenant pour calculer E
r (ρ, ρ
′ ), de
remarquer que
E
r (ρ, ρ
′ )=
I R 3
ρ
′ V
r
=
I R 3
ρ
′ (x)
Γ
σ(y)
|x − y|
dy
dx