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3 Simulation mol´ eculaire
Pour obtenir σ,i ls u ffi td ’ ´ ecrire la formule de repr´ esentation (3.59)
1
2
∂V
r
∂n
i
+
∂V
r
∂n
e
= D
∗ · σ
o` u
(D
∗ · σ)(x)=
Γ
∂
∂n x
1
|x − y|
σ(y) dy,
(3.62)
et la condition de saut `
a l’interface issue de (3.60)
0=
∂V
s
∂n
i
− ǫ s
∂V
s
∂n
e
=
∂V
r
∂n
i
− ǫ
∂V
r
∂n
e
+(1− ǫ)
∂φ
∂n
,
ce qui conduit imm´ ediatement ` a´ ecrire que σ est solution de l’´ equation
int´ egrale
2π
ǫ s +1
ǫ s − 1
− D
∗
· σ =
∂φ
∂n
.
(3.63)
Voyons comment mettre en oeuvre la r´ esolution num´ erique de cette
´ equation.
Aspects num´ eriques
Pour r´ esoudre num´ eriquement une ´ equation int´ egrale comme (3.63), on
utilise ici une m´ ethode de Galerkin, sur une base d’´ el´ ements finis surfaciques.
On raisonne sur une ´ equation int´ egrale lin´ eaire qui s’´ ecrit formellement
A · σ = g,
(3.64)
o` u l’inconnue σ est dans H
s (Γ ) et le second membre g dans H
s
′ (Γ ), et
o` u l’op´ erateur int´ egral A ∈L (H
s (Γ ),H
s
′ (Γ )) est caract´ eris´ ep a rl en o y a u
a(x, y):
(A · σ)(x)=
Γ
a(x, y) σ(y) dy,
∀x ∈ Γ.
Ce cas couvre celui de (3.63). Consid´ erons un maillage (T i ) 1≤i≤n de Γ
que nous supposons dans un premier temps effectivement trac´ es u rl as u r f a c e
courbe Γ (on n’utilise pas d’approximation de la surface Γ )e td ´ esignons
par x i un point repr´ esentatif de l’´ el´ ement T i (typiquement son “centre”). La
r´ esolution de (3.64) par m´ ethode de Galerkin avec ´ el´ ement fini P 0 fournit
une approximation de σ dans l’espace V des fonctions constantes sur chaque
´ el´ ement T i du maillage. On cherche σ ∈ V v´ erifiant
∀τ ∈ V,
A · σ, τ Γ = g, τ Γ .