3.3 Mod´ elisation de la phase liquide
123
[V ]:=V i − V e
et
∂V
∂n
:=
∂V
∂n
i
−
∂V
∂n
e
,
on peut ´ ecrire les formules de repr´ esentation suivantes : la fonction V v´ erifie
pour tout x/ ∈ Γ ,
V (x)=
Γ
1
4π|x − y|
∂V
∂n
(y) dy −
Γ
∂
∂n y
1
4π|x − y|
[V ](y) dy (3.57)
et pour tout x ∈ Γ ,
V i (x)+V e (x)
2
=
Γ
1
4π|x − y|
∂V
∂n
(y) dy −
Γ
∂
∂n y
1
4π|x − y|
[V ](y) dy.
(3.58)
Pour x ∈ Γ , on a en outre formellement
1
2
∂V
∂n
i
+
∂V
∂n
e
(x)=
Γ
∂
∂n x
1
4π|x − y|
∂V
∂n
(y) dy
−
Γ
∂
2
∂n x ∂n y
1
4π|x − y|
[V ](y) dy. (3.59)
Revenons maintenant `
anotrecaspr´ ecis. Nous cherchons ` acalculerl’´ energie
E
r (ρ, ρ
′ )=
I R 3
ρ
′ V
r ,
le potentiel de r´ eaction V
r engendr´ ep a rρ ´ etant d´ efini par
V
r := V
s − φ, −div (ǫ(x)∇V
s (x)) = 4πρ(x), −∆φ =4πρ,
(3.60)
avec ǫ(x)=1d a n sl ac a v i t ´ e Ω et ǫ(x)=ǫ s dans le domaine ext´ erieur IR
3 \ ¯
Ω.
On v´ erifie que V
r est de classe C
2 dans ¯
Ω et dans IR
3 \ Ω, et qu’il satisfait
(´ etant donn´ e que la fonction ρ est nulle en dehors de la cavit´ e)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
−∆V
r = 0
dans Ω
−∆V
r = 0
dans IR
3 \ ¯
Ω
[V
r ]=0
surΓ
V
r → 0` a l’infini.
L e sf o r m u l e sd er e p r ´ esentation (3.57)-(3.58) permettent donc d’´ ecrire le
potentiel de r´ eaction V
r sous la forme d’un potentiel dit de simple couche
V
r (x)=
Γ
σ(y)
|x − y|
dy,
∀x ∈ IR
3 ,
(3.61)
avec σ =
1
4π
∂V
r
∂n
∈ H
−1/2 (Γ ) (noter qu’on a utilis´ el ac o n t i n u i t ´ ed eV
r
pour regrouper les deux formules (3.57)-(3.58) en une seule). D´ eterminer V
r
revient donc `
ad ´ eterminer σ.