3.2 Simulation num´ erique
115
vibrent `
a cette vitesse, d’autres ` a des vitesses mille ` a cent mille fois inf´ erieures.
La simulation devra s’accommoder de telles disproportions. Mais malheureusement, il y a pire. La simulation devra en plus porter sur un temps physique
de l’ordre de la milliseconde ou de la seconde (par exemple, un ph´ enom` ene
capital de la biologie, `
a savoir le repliement d’une prot´ eine, s’effectue dans une
fourchette allant de la milliseconde `
a la seconde). Si un pas de temps est de
l’ordre de la femtoseconde, ou de la picoseconde, il faut donc envisager 10
9 pas
de temps, au bas mot, 10
12 ou 10
15 souvent. Ce n’est pas possible. Si on oublie
le monde de la biologie et qu’on regarde celui de la science des mat´ eriaux, on
trouve des disproportions analogues (questions de sauts de lacunes dans des
mat´ eriaux irradi´ es, ou dynamique de dislocations dans des mat´ eriaux qui se
d´ egradent, par exemple).
Bref, les techniques d’´ equations diff´ erentielles ordinaires les meilleures du
moment, comme celles de la Section pr´ ec´ edente, ne suffisent pas ` a couvrir
les besoins en simulation en temps long
1 . Quelles sont donc les alternatives
possibles ?
Commen¸ cons par l’observation suivante. Dans la plupart des situations
d’´ evolution d’un syst` eme mol´ eculaire (par exemple), si un ph´ enom` ene prend
“beaucoup” de temps, c’est parce que la majeure partie du temps, le syst` eme
ne fait rien, ou pas grand chose. Typiquement, l’´ evolution d’un syst` eme est la
suivante : le syst` eme passe son temps ` a osciller au voisinage d’´ etats m´ etastables
(on baptise ainsi les ´ etats du syst` eme qui “vivent” lontemps), le passage d’un
´ etat ` a un autre ´ etant un ph´ enom` ene rapide, mais qu’il faut attendre longtemps
(on parle d’un ´ ev` enement rare). Petit `
a petit, le syst` eme atteint ainsi son
´ etat final. Cette succession de longues plages d’immobilit´ e entrecoup´ ees de
transitions quasi imm´ ediates est un drame pour la simulation num´ erique (voir
Figure 3.3). Elle fait accroˆ ıtre le nombre de pas de temps, tout en interdisant
d’en sauter, faute de rater l’´ ev` enement important.
Cette observation est ` a la base d’un certain nombre de techniques dites
d’acc´ el´ eration de la dynamique mol´ eculaire. Nous en citerons une comme
exemple, celle connue sous le nom de technique de Monte-Carlo cin´ etique.
Elle a pour base un substantiel changement de point de vue. Plutˆ ot que
de regarder l’´ evolution du syst` eme, on va regarder le paysage ´ energ´ etique.
Imaginons par exemple que l’´ etat du syst` eme soit r´ egi par le Hamiltonien
(3.43) de la section pr´ ec´ edente
H(p, q)=
p
2
2
+ V (q).
Alors on peut bien sˆ ur suivre l’´ etat du syst` eme au cours du temps par une
dynamique. C’est l’approche de la Section pr´ ec´ edente. Mais on peut aussi
chercher dans l’espace des positions q du syst` eme les ´ etats m´ etastables ou
1 encore une fois, par “en temps long”, on entend “long par rapport ` al ’ ´ echelle
de temps ´ el´ ementaire pr´ esente dans le probl` eme”. On ne se m´ eprendra pas sur le
vocabulaire “long”, “court”, “rapide”, ... employ´ e dans toute cette section.
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a cette vitesse, d’autres ` a des vitesses mille ` a cent mille fois inf´ erieures.
La simulation devra s’accommoder de telles disproportions. Mais malheureusement, il y a pire. La simulation devra en plus porter sur un temps physique
de l’ordre de la milliseconde ou de la seconde (par exemple, un ph´ enom` ene
capital de la biologie, `
a savoir le repliement d’une prot´ eine, s’effectue dans une
fourchette allant de la milliseconde `
a la seconde). Si un pas de temps est de
l’ordre de la femtoseconde, ou de la picoseconde, il faut donc envisager 10
9 pas
de temps, au bas mot, 10
12 ou 10
15 souvent. Ce n’est pas possible. Si on oublie
le monde de la biologie et qu’on regarde celui de la science des mat´ eriaux, on
trouve des disproportions analogues (questions de sauts de lacunes dans des
mat´ eriaux irradi´ es, ou dynamique de dislocations dans des mat´ eriaux qui se
d´ egradent, par exemple).
Bref, les techniques d’´ equations diff´ erentielles ordinaires les meilleures du
moment, comme celles de la Section pr´ ec´ edente, ne suffisent pas ` a couvrir
les besoins en simulation en temps long
1 . Quelles sont donc les alternatives
possibles ?
Commen¸ cons par l’observation suivante. Dans la plupart des situations
d’´ evolution d’un syst` eme mol´ eculaire (par exemple), si un ph´ enom` ene prend
“beaucoup” de temps, c’est parce que la majeure partie du temps, le syst` eme
ne fait rien, ou pas grand chose. Typiquement, l’´ evolution d’un syst` eme est la
suivante : le syst` eme passe son temps ` a osciller au voisinage d’´ etats m´ etastables
(on baptise ainsi les ´ etats du syst` eme qui “vivent” lontemps), le passage d’un
´ etat ` a un autre ´ etant un ph´ enom` ene rapide, mais qu’il faut attendre longtemps
(on parle d’un ´ ev` enement rare). Petit `
a petit, le syst` eme atteint ainsi son
´ etat final. Cette succession de longues plages d’immobilit´ e entrecoup´ ees de
transitions quasi imm´ ediates est un drame pour la simulation num´ erique (voir
Figure 3.3). Elle fait accroˆ ıtre le nombre de pas de temps, tout en interdisant
d’en sauter, faute de rater l’´ ev` enement important.
Cette observation est ` a la base d’un certain nombre de techniques dites
d’acc´ el´ eration de la dynamique mol´ eculaire. Nous en citerons une comme
exemple, celle connue sous le nom de technique de Monte-Carlo cin´ etique.
Elle a pour base un substantiel changement de point de vue. Plutˆ ot que
de regarder l’´ evolution du syst` eme, on va regarder le paysage ´ energ´ etique.
Imaginons par exemple que l’´ etat du syst` eme soit r´ egi par le Hamiltonien
(3.43) de la section pr´ ec´ edente
H(p, q)=
p
2
2
+ V (q).
Alors on peut bien sˆ ur suivre l’´ etat du syst` eme au cours du temps par une
dynamique. C’est l’approche de la Section pr´ ec´ edente. Mais on peut aussi
chercher dans l’espace des positions q du syst` eme les ´ etats m´ etastables ou
1 encore une fois, par “en temps long”, on entend “long par rapport ` al ’ ´ echelle
de temps ´ el´ ementaire pr´ esente dans le probl` eme”. On ne se m´ eprendra pas sur le
vocabulaire “long”, “court”, “rapide”, ... employ´ e dans toute cette section.