3.2 Simulation num´ erique
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A ce stade, il est aussi utile de commenter un peu plus sur l’utilisation
de ces techniques d’int´ egration. Un des objectifs premiers de la dynamique
mol´ eculaire est le calcul de moyennes statistiques. Bri` evement dit, l’objectif de
simuler une ´ evolution du syst` eme sur un temps long n’est pas la connaissance
de l’´ etat final de ce syst` eme quand son ´ etat initial est donn´ e (cela peut bien
sˆ ur ˆ etre une motivation, mais ce n’est pas la seule). Il s’agit plutˆ ot d’un
moyen d’´ echantillonner l’espace des phases. On se base en effet sur l’hypoth` ese
dite ergodique pour affirmer que la moyenne d’un op´ erateur A (une
observable au sens de la m´ ecanique quantique) sur le syst` eme peut s’obtenir
par le calcul de
= lim
T −→ +∞
1
T
T
0
A(p(t),q(t)) dt,
o` u( p(t),q(t)) est une trajectoire en temps du syst` eme. D’o` ul an ´ ecessit´ ed e
calculer cette trajectoire en temps long, et les questions soulev´ ees dans cette
section. Mais, `
apartirdel` a, on peut remarquer que le point de vue change sensiblement : on ne s’int´ eresse pas vraiment ` alapr ´ ecision dans la d´ etermination
d’une trajectoire donn´ ee (dont la condition initiale est d’ailleurs mal connue,
voire arbitraire et de toute fa¸ con indiff´ erente), mais plutˆ ot ` a la reproduction
en temps long du flot de l’´ equation. Il y a une certaine “globalisation” du point
de vue : la notion de flot, ensemble de toutes les trajectoires, se substitue `
al a
notion de trajectoire. C’est cette modification du point de vue qui conduit `
a
prendre en compte des propri´ et´ es de nature g´ eom´ etrique, comme la symplecticit´ e. Nous verrons plus en d´ etail au Chapitre 5 des questions de pr´ ecision
sur les sch´ emas de r´ esolution des ´ equations diff´ erentielles ordinaires, dans le
contexte plus classique o` u l’on cherche `
ad´ eterminer pr´ ecis´ ement une ´ evolution
particuli` ere. Dans une certaine mesure, notre ignorance de telles questions `
a
ce stade du cours ne nous p´ enalise pas ici, o` u l’objectif est diff´ erent.
Remarque 3.17. Dans cette section, on s’int´ eresse ` a des trajectoires hamiltoniennes du syst` eme, donc des ´ evolutions `
a´ energie constante. De telles trajectoires parcourent un sous-ensemble de l’espace des phases qui correspond ` a une
seule valeur de l’´ energie. On g´ en` ere ainsi, sous l’hypoth` ese ergodique, tout l’ensemble microcanonique (N, V, E), i.e. nombre de particules, volume et ´ energie
constante. D’autres simulations peuvent par exemple ˆ etre destin´ ees ` ad ´ ecrire
l’ensemble canonique (N, V, T), i.e. cette fois la temp´ erature du syst` eme, et
non l’´ energie, est gard´ ee constante (remarquer qu’asymptotiquement pour un
nombre infini de particules, ou en volume infini, tous les ensembles statistiques donnent la mˆ eme valeur des moyennes). Pour parcourir cet ensemble,
on suit donc des dynamiques qui ne sont pas les dynamiques hamiltoniennes
vues ci-dessus. On peut par exemple utiliser des syst` emes dynamiques avec
thermostat (des variables annexes, formellement du type multiplicateur de Lagrange) qui ont pour but de maintenir la temp´ erature du syst` eme constante :
on parle de dynamique de Nos´ e-Hoover, par exemple. On peut aussi utiliser une simulation par dynamique de Langevin, qui consiste ` a introduire un
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A ce stade, il est aussi utile de commenter un peu plus sur l’utilisation
de ces techniques d’int´ egration. Un des objectifs premiers de la dynamique
mol´ eculaire est le calcul de moyennes statistiques. Bri` evement dit, l’objectif de
simuler une ´ evolution du syst` eme sur un temps long n’est pas la connaissance
de l’´ etat final de ce syst` eme quand son ´ etat initial est donn´ e (cela peut bien
sˆ ur ˆ etre une motivation, mais ce n’est pas la seule). Il s’agit plutˆ ot d’un
moyen d’´ echantillonner l’espace des phases. On se base en effet sur l’hypoth` ese
dite ergodique pour affirmer que la moyenne d’un op´ erateur A (une
observable au sens de la m´ ecanique quantique) sur le syst` eme peut s’obtenir
par le calcul de
= lim
T −→ +∞
1
T
T
0
A(p(t),q(t)) dt,
o` u( p(t),q(t)) est une trajectoire en temps du syst` eme. D’o` ul an ´ ecessit´ ed e
calculer cette trajectoire en temps long, et les questions soulev´ ees dans cette
section. Mais, `
apartirdel` a, on peut remarquer que le point de vue change sensiblement : on ne s’int´ eresse pas vraiment ` alapr ´ ecision dans la d´ etermination
d’une trajectoire donn´ ee (dont la condition initiale est d’ailleurs mal connue,
voire arbitraire et de toute fa¸ con indiff´ erente), mais plutˆ ot ` a la reproduction
en temps long du flot de l’´ equation. Il y a une certaine “globalisation” du point
de vue : la notion de flot, ensemble de toutes les trajectoires, se substitue `
al a
notion de trajectoire. C’est cette modification du point de vue qui conduit `
a
prendre en compte des propri´ et´ es de nature g´ eom´ etrique, comme la symplecticit´ e. Nous verrons plus en d´ etail au Chapitre 5 des questions de pr´ ecision
sur les sch´ emas de r´ esolution des ´ equations diff´ erentielles ordinaires, dans le
contexte plus classique o` u l’on cherche `
ad´ eterminer pr´ ecis´ ement une ´ evolution
particuli` ere. Dans une certaine mesure, notre ignorance de telles questions `
a
ce stade du cours ne nous p´ enalise pas ici, o` u l’objectif est diff´ erent.
Remarque 3.17. Dans cette section, on s’int´ eresse ` a des trajectoires hamiltoniennes du syst` eme, donc des ´ evolutions `
a´ energie constante. De telles trajectoires parcourent un sous-ensemble de l’espace des phases qui correspond ` a une
seule valeur de l’´ energie. On g´ en` ere ainsi, sous l’hypoth` ese ergodique, tout l’ensemble microcanonique (N, V, E), i.e. nombre de particules, volume et ´ energie
constante. D’autres simulations peuvent par exemple ˆ etre destin´ ees ` ad ´ ecrire
l’ensemble canonique (N, V, T), i.e. cette fois la temp´ erature du syst` eme, et
non l’´ energie, est gard´ ee constante (remarquer qu’asymptotiquement pour un
nombre infini de particules, ou en volume infini, tous les ensembles statistiques donnent la mˆ eme valeur des moyennes). Pour parcourir cet ensemble,
on suit donc des dynamiques qui ne sont pas les dynamiques hamiltoniennes
vues ci-dessus. On peut par exemple utiliser des syst` emes dynamiques avec
thermostat (des variables annexes, formellement du type multiplicateur de Lagrange) qui ont pour but de maintenir la temp´ erature du syst` eme constante :
on parle de dynamique de Nos´ e-Hoover, par exemple. On peut aussi utiliser une simulation par dynamique de Langevin, qui consiste ` a introduire un