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3 Simulation mol´ eculaire
Exercice 3.15. D´ efinir l’´ energie au temps discret t n .Calculer` a quel ordre en
∆t l’´ energie est conserv´ ee par le sch´ ema (3.48).
Exercice 3.16. Expliquer pourquoi un algorithme qui augmenterait sans
cesse le volume dans l’espace des phases serait tr` es susceptible d’amener de
grosses erreurs sur la conservation de l’´ energie ` a long terme au niveau discret.
Terminons cette section par quelques commentaires.
Le flot Φ t d’un syst` eme hamiltonien est en fait toujours une application dite
symplectique, c’est-` a-dire une application g poss´ edant la propri´ et´ e suivante
∀ (p, q) ∈ IR
2M , (∇g(p, q))
t
0I d M
−Id M 0
(∇g(p, q)) =
0I d M
−Id M 0
(3.51)
Cette propri´ et´ e entraˆ ıne la propri´ et´ e de conservation du volume dans l’espace
des phases
∀ t>0, ∀A ⊂ IR
2M , vol (Φ t (A)) = vol (A)
(3.52)
(cf. l’Exercice 3.14 ci-dessus), et d’ailleurs en dimension 1 (c’est-` a-dire quand
M = 1) la symplecticit´ e est ´ equivalente ` al ap r o p r i ´ et´ e de conservation du
volume.
On dit alors d’un sch´ ema num´ erique qu’il est symplectique si, lorsqu’il
est mis en oeuvre sur un syst` eme hamiltonien, le flot num´ erique Φ n que le
sch´ ema d´ efinit est une application symplectique (i.e. v´ erifie (3.51)). En utilisant un tel sch´ ema, on est donc assur´ ed ep r ´ eserver exactement le volume
dans l’espace des phases (cf. le raisonnement ci-dessus). On observe en fait
dans la pratique num´ erique qu’un tel sch´ ema exhibe le plus souvent une propri´ et´ e suppl´ ementaire, a priori miraculeuse (voir cependant l’Exercice 3.16) :
il conserve presque exactement l’´ energie du syst` eme hamiltonien, et ce mˆ eme
sur les longs temps d’int´ egration, ce qui est une propri´ et´ e redoutablement
int´ eressante. Cette propri´ et´ e peut s’expliquer par l’analyse num´ erique. En effet, on peut montrer que le flot num´ erique associ´ e` aunsch´ ema num´ erique symplectique est (quasiment) le flot exact d’un syst` eme hamiltonien qui approche
le syst` eme original. En r´ ealit´ e, si on veut ˆ etre plus rigoureux, ce flot num´ erique
est exponentiellement proche du flot exact d’un syst` eme hamiltonien, l’expression exponentiellement proche signifiant proche `
a l’ordre exp(−
1
∆t
). En tant
que (quasiment) flot exact, ce flot conserve donc exactement l’´ energie associ´ ee
` a ce nouveau syst` eme hamiltonien, laquelle est proche de l’´ energie du syst` eme
original. D’o` u la conservation approch´ ee de l’´ energie du syst` eme original, en
fait sur des intervalles de temps de longueur exp(
1
∆t
), propri´ et´ e capitale pour
la pratique. Nous renvoyons le lecteur qui veut en savoir plus `
alabibliographie
de la fin de ce chapitre.
3 Simulation mol´ eculaire
Exercice 3.15. D´ efinir l’´ energie au temps discret t n .Calculer` a quel ordre en
∆t l’´ energie est conserv´ ee par le sch´ ema (3.48).
Exercice 3.16. Expliquer pourquoi un algorithme qui augmenterait sans
cesse le volume dans l’espace des phases serait tr` es susceptible d’amener de
grosses erreurs sur la conservation de l’´ energie ` a long terme au niveau discret.
Terminons cette section par quelques commentaires.
Le flot Φ t d’un syst` eme hamiltonien est en fait toujours une application dite
symplectique, c’est-` a-dire une application g poss´ edant la propri´ et´ e suivante
∀ (p, q) ∈ IR
2M , (∇g(p, q))
t
0I d M
−Id M 0
(∇g(p, q)) =
0I d M
−Id M 0
(3.51)
Cette propri´ et´ e entraˆ ıne la propri´ et´ e de conservation du volume dans l’espace
des phases
∀ t>0, ∀A ⊂ IR
2M , vol (Φ t (A)) = vol (A)
(3.52)
(cf. l’Exercice 3.14 ci-dessus), et d’ailleurs en dimension 1 (c’est-` a-dire quand
M = 1) la symplecticit´ e est ´ equivalente ` al ap r o p r i ´ et´ e de conservation du
volume.
On dit alors d’un sch´ ema num´ erique qu’il est symplectique si, lorsqu’il
est mis en oeuvre sur un syst` eme hamiltonien, le flot num´ erique Φ n que le
sch´ ema d´ efinit est une application symplectique (i.e. v´ erifie (3.51)). En utilisant un tel sch´ ema, on est donc assur´ ed ep r ´ eserver exactement le volume
dans l’espace des phases (cf. le raisonnement ci-dessus). On observe en fait
dans la pratique num´ erique qu’un tel sch´ ema exhibe le plus souvent une propri´ et´ e suppl´ ementaire, a priori miraculeuse (voir cependant l’Exercice 3.16) :
il conserve presque exactement l’´ energie du syst` eme hamiltonien, et ce mˆ eme
sur les longs temps d’int´ egration, ce qui est une propri´ et´ e redoutablement
int´ eressante. Cette propri´ et´ e peut s’expliquer par l’analyse num´ erique. En effet, on peut montrer que le flot num´ erique associ´ e` aunsch´ ema num´ erique symplectique est (quasiment) le flot exact d’un syst` eme hamiltonien qui approche
le syst` eme original. En r´ ealit´ e, si on veut ˆ etre plus rigoureux, ce flot num´ erique
est exponentiellement proche du flot exact d’un syst` eme hamiltonien, l’expression exponentiellement proche signifiant proche `
a l’ordre exp(−
1
∆t
). En tant
que (quasiment) flot exact, ce flot conserve donc exactement l’´ energie associ´ ee
` a ce nouveau syst` eme hamiltonien, laquelle est proche de l’´ energie du syst` eme
original. D’o` u la conservation approch´ ee de l’´ energie du syst` eme original, en
fait sur des intervalles de temps de longueur exp(
1
∆t
), propri´ et´ e capitale pour
la pratique. Nous renvoyons le lecteur qui veut en savoir plus `
alabibliographie
de la fin de ce chapitre.