3.2 Simulation num´ erique
111
Attaquons maintenant la r´ esolution num´ erique. Pour int´ egrer num´ eriquement (3.44), un des sch´ emas les plus populaires est le sch´ ema suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
p
n+1
i
= p
n
i − ∆t ∇ qi V (q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N ),
q
n+1
i
= q
n
i + ∆t p
n
i −
1
2
(∆t)
2 ∇ qi V (q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N )
(3.48)
o` uo nan o t ´ e p i =
dq i
dt
. On appelle ce sch´ ema l’algorithme de Verlet.P o u r
simplifier, on ne consid` ere dans la suite qu’une seule particule, c’est-` a-dire
que l’indice i ne prend qu’une seule valeur, et on l’oublie donc d´ esormais.
L’adaptation du raisonnement au cas de plusieurs particules est imm´ ediate.
L’algorithme que l’on consid` ere est donc :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
p
n+1 = p
n − ∆t ∇ x V (q
n +
1
2
∆t p
n ),
q
n+1 = q
n + ∆t p
n −
1
2
(∆t)
2 ∇ x V (q
n +
1
2
∆t p
n )
(3.49)
En s’inspirant de la d´ efinition de Φ t ,o nd ´ efinit le flot num´ erique associ´ e
pour n ≥ 0a us c h ´ ema (3.49). Il s’agit de l’application Φ n qui associe le
couple (p
n+1 ,q
n+1 )a uc o u p l e( p
n ,q
n ). Au vu de (3.49), cette application est
diff´ erentiable et un calcul simple montre que sa diff´ erentielle est l’application
lin´ eaire de IR
3 × IR
3 dans lui-mˆ eme de matrice (´ ecrite ici sous forme de 4 blocs
de taille 3×3) :
J n =
⎛
⎝
1 −
1
2 (∆t)
2 ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )
−(∆t) ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )
∆t −
1
4 (∆t)
3 ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )1−
1
2 (∆t)
2 ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )
⎞
⎠
(3.50)
Si l’on consid` ere maintenant un domaine D n de l’espace des phases pour
une particule IR
3 × IR
3 , on peut voir que ce domaine voit son volume exactement conserv´ e par le flot num´ erique Φ n .E ne ff e t ,
Dn+1=Φn(Dn)
dp n+1 dq n+1 =
Dn
|det J n | dp n dq n =
Dn
dp n dq n ,
puisque, par un calcul imm´ ediat, det J n = 1. Cette propri´ et´ e de conservation
du volume au niveau discret fait le grand int´ erˆ et de ce sch´ ema num´ erique,
puisqu’il reproduit les propri´ et´ es du niveau continu.
Les deux exercices suivant permettent d’appr´ ehender l’impact qu’ont sur
la conservation de l’´ energie deux propri´ et´ es bien diff´ erentes : d’une part la
conservation de l’´ energie ` a un ordre approch´ e, pas de temps par pas de temps,
et d’autre part la propri´ et´ e de conservation exacte du volume dans l’espace
des phases. Ils seront ensuite compl´ et´ es par les commentaires finaux de cette
section.
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Attaquons maintenant la r´ esolution num´ erique. Pour int´ egrer num´ eriquement (3.44), un des sch´ emas les plus populaires est le sch´ ema suivant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
p
n+1
i
= p
n
i − ∆t ∇ qi V (q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N ),
q
n+1
i
= q
n
i + ∆t p
n
i −
1
2
(∆t)
2 ∇ qi V (q
n
1 +
1
2
∆t p
n
1 , ..., q
n
N +
1
2
∆t p
n
N )
(3.48)
o` uo nan o t ´ e p i =
dq i
dt
. On appelle ce sch´ ema l’algorithme de Verlet.P o u r
simplifier, on ne consid` ere dans la suite qu’une seule particule, c’est-` a-dire
que l’indice i ne prend qu’une seule valeur, et on l’oublie donc d´ esormais.
L’adaptation du raisonnement au cas de plusieurs particules est imm´ ediate.
L’algorithme que l’on consid` ere est donc :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
p
n+1 = p
n − ∆t ∇ x V (q
n +
1
2
∆t p
n ),
q
n+1 = q
n + ∆t p
n −
1
2
(∆t)
2 ∇ x V (q
n +
1
2
∆t p
n )
(3.49)
En s’inspirant de la d´ efinition de Φ t ,o nd ´ efinit le flot num´ erique associ´ e
pour n ≥ 0a us c h ´ ema (3.49). Il s’agit de l’application Φ n qui associe le
couple (p
n+1 ,q
n+1 )a uc o u p l e( p
n ,q
n ). Au vu de (3.49), cette application est
diff´ erentiable et un calcul simple montre que sa diff´ erentielle est l’application
lin´ eaire de IR
3 × IR
3 dans lui-mˆ eme de matrice (´ ecrite ici sous forme de 4 blocs
de taille 3×3) :
J n =
⎛
⎝
1 −
1
2 (∆t)
2 ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )
−(∆t) ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )
∆t −
1
4 (∆t)
3 ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )1−
1
2 (∆t)
2 ∇
2 V (q
n +
1
2 ∆t p
n )
⎞
⎠
(3.50)
Si l’on consid` ere maintenant un domaine D n de l’espace des phases pour
une particule IR
3 × IR
3 , on peut voir que ce domaine voit son volume exactement conserv´ e par le flot num´ erique Φ n .E ne ff e t ,
Dn+1=Φn(Dn)
dp n+1 dq n+1 =
Dn
|det J n | dp n dq n =
Dn
dp n dq n ,
puisque, par un calcul imm´ ediat, det J n = 1. Cette propri´ et´ e de conservation
du volume au niveau discret fait le grand int´ erˆ et de ce sch´ ema num´ erique,
puisqu’il reproduit les propri´ et´ es du niveau continu.
Les deux exercices suivant permettent d’appr´ ehender l’impact qu’ont sur
la conservation de l’´ energie deux propri´ et´ es bien diff´ erentes : d’une part la
conservation de l’´ energie ` a un ordre approch´ e, pas de temps par pas de temps,
et d’autre part la propri´ et´ e de conservation exacte du volume dans l’espace
des phases. Ils seront ensuite compl´ et´ es par les commentaires finaux de cette
section.