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3 Simulation mol´ eculaire
D(t)=Ψ t (D(0)) = {y ∈ R
M ; ∃y
0 ∈ D(0) y = Ψ t (y
0 )}
qui est la “d´ eform´ ee” au temps t de D(0). Soit V Ψ (t)l ev o l u m ed eD(t),
c’est-` a-dire
V(t) Ψ (t)=
D(t)
dy 1 ... dy M ,
int´ egrale dont on suppose qu’elle existe pour tout temps. On a alors la propri´ et´ e
V Ψ (t)=V Ψ (0) pour tout t>0 si et seulement si f est ` a divergence nulle
(3.47)
En effet, on peut ´ ecrire, pour t petit,
D(t)=Ψ (t)(D(0))
dy 1 ... dy M =
D(0)
det
∂Ψ(t) i
∂y 0
j
dy
0
1 ... dy
0
M
=
D(0)
det (Id M + t ∇f + o(t))
dy
0
1 ... dy
0
M
=
D(0)
(1 + t div f + o(t))
dy
0
1 ... dy
0
M
en utilisant successivement un changement de variable dans l’int´ egrale, la
formule (3.46), et la propri´ et´ e
det (Id M + tA)=1+t Trace A + o(t).
Il s’ensuit que
d
dt
D(t)
dy 1 ... dy M
t=0
=
D(0)
div fd y
0
1 ... dy
0
M .
Ce qui vient d’ˆ etre fait en t =0
+ peut ˆ etre fait de mˆ e m ee nu nq u e l c o n q u e
t>0 (juste en appliquant les arguments ci-dessus au flot Ψ s−t d´ efini `
ap a r t i r
de l’instant t,p o u rs>t). Nous avons donc
d
dt
|
D(t)
dy 1 ... dy M =
D(t)
div fd y 1 ... dy M ,
et ceci montre l’assertion (3.47).
Nous revenons maintenant au syst` eme (3.44) et utilisons sa forme particuli` ere pour obtenir que son flot, not´ e Φ t , conserve le volume dans l’espace des
phases. Cette propri´ et´ e est li´ ee ` a ce qu’on appelle le caract` ere symplectique du
syst` eme (3.44) (voir les commentaires plus loin). Elle fait l’objet de l’exercice
suivant.
Exercice 3.14. En particularisant le raisonnement fait ci-dessus sur (3.45),
au cas du syst` eme (3.44), montrer que le flot Φ t de ce syst` eme pr´ eserve le
volume dans l’espace des phases, i.e. l’espace des couples vitesse/position
(p, q) ∈ IR
3N × IR
3N