3.2 Simulation num´ erique
109
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dp
dt
= −
∂H
∂q
,
dq
dt
=
∂H
∂p
,
p(0) = p
0 ,
q(0) = q
0
(3.44)
Un syst` eme de la forme (3.44) ci-dessus est dit syst` eme hamiltonien.
Exercice 3.13. Montrer que le syst` eme (3.44) a une solution pour tout t>0
sous des conditions raisonnables sur V qu’on pr´ ecisera.
Il est facile de voir, `
a cause de la forme particuli` ere de (3.44), que le
Hamiltonien H(p(t),q(t)) est une constante du mouvement, ce qui mod´ elise
le fait que l’´ energie d’un syst` eme isol´ e est conserv´ ee au cours du temps. En
effet,
d
dt
H(p(t),q(t)) =
∂H
∂p
dp
dt
+
∂H
∂p
dq
dt
= −
∂H
∂p
∂H
∂q
+
∂H
∂q
∂H
∂p
=0.
Le syst` eme (3.44) est une forme particuli` ere du syst` eme plus g´ en´ eral
d’´ evolution
dy
dt
= f (y),
y(0) = y
0
(3.45)
o` u y(t)=(p(t),q(t)) et y
0 =(p
0 ,q
0 ). A la fois y(t)e ty
0 sont dans IR
M .D a n s
notre cas, M =6 N . Pour simplifier, on suppose que la fonction f :I R
M −→
IR
M est de classe C
1 .
Pour un tel syst` eme, on introduit la notion de flot au temps t. Il s’agit de
la fonction Ψ t de IR
M dans lui-mˆ eme, qui ` a y
0 associe la solution du syst` eme
(3.45) au temps t, autrement dit la position y au temps t de la particule qui
se trouvait au temps t =0eny = y
0 .
On prendra bien garde au fait que, dans notre cas o` u y(t)d´ esignelecouple
vitesse/position (p(t),q(t)) solution de (3.44), le flot agit sur le couple vitesse/position, qui est la variable “position” en termes du syst` eme (3.45) (voir
l’Exercice 3.14).
Pour le syst` eme (3.45), une cons´ equence directe de la d´ efinition de Ψ t (y)
est que l’on a
d
dt
Ψ t (y
0 )=f (Ψ t (y
0 )),
et donc que
Ψ t (y
0 )=y
0 + tf (y
0 )+o
t
,
quand t −→ 0.
(3.46)
A partir de (3.46), on peut montrer une importante propri´ et´ e de conservation du volume. Soit D(0) une r´ egion de IR
M .D ´ esignons par D(t)l ar ´ egion
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⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dp
dt
= −
∂H
∂q
,
dq
dt
=
∂H
∂p
,
p(0) = p
0 ,
q(0) = q
0
(3.44)
Un syst` eme de la forme (3.44) ci-dessus est dit syst` eme hamiltonien.
Exercice 3.13. Montrer que le syst` eme (3.44) a une solution pour tout t>0
sous des conditions raisonnables sur V qu’on pr´ ecisera.
Il est facile de voir, `
a cause de la forme particuli` ere de (3.44), que le
Hamiltonien H(p(t),q(t)) est une constante du mouvement, ce qui mod´ elise
le fait que l’´ energie d’un syst` eme isol´ e est conserv´ ee au cours du temps. En
effet,
d
dt
H(p(t),q(t)) =
∂H
∂p
dp
dt
+
∂H
∂p
dq
dt
= −
∂H
∂p
∂H
∂q
+
∂H
∂q
∂H
∂p
=0.
Le syst` eme (3.44) est une forme particuli` ere du syst` eme plus g´ en´ eral
d’´ evolution
dy
dt
= f (y),
y(0) = y
0
(3.45)
o` u y(t)=(p(t),q(t)) et y
0 =(p
0 ,q
0 ). A la fois y(t)e ty
0 sont dans IR
M .D a n s
notre cas, M =6 N . Pour simplifier, on suppose que la fonction f :I R
M −→
IR
M est de classe C
1 .
Pour un tel syst` eme, on introduit la notion de flot au temps t. Il s’agit de
la fonction Ψ t de IR
M dans lui-mˆ eme, qui ` a y
0 associe la solution du syst` eme
(3.45) au temps t, autrement dit la position y au temps t de la particule qui
se trouvait au temps t =0eny = y
0 .
On prendra bien garde au fait que, dans notre cas o` u y(t)d´ esignelecouple
vitesse/position (p(t),q(t)) solution de (3.44), le flot agit sur le couple vitesse/position, qui est la variable “position” en termes du syst` eme (3.45) (voir
l’Exercice 3.14).
Pour le syst` eme (3.45), une cons´ equence directe de la d´ efinition de Ψ t (y)
est que l’on a
d
dt
Ψ t (y
0 )=f (Ψ t (y
0 )),
et donc que
Ψ t (y
0 )=y
0 + tf (y
0 )+o
t
,
quand t −→ 0.
(3.46)
A partir de (3.46), on peut montrer une importante propri´ et´ e de conservation du volume. Soit D(0) une r´ egion de IR
M .D ´ esignons par D(t)l ar ´ egion