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3 Simulation mol´ eculaire
F (D):
∂D
∂λ
=T r(E(C
∗ S
∂C
∂λ
+
∂C
∗
∂λ
SC)).
3 - Utiliser alors la condition d’orthonormalit´ e C
∗ SC = I N ,e te nd ´ eduire
∂W
∂λ
=
∂h
∂λ
: D +
1
2
D :
∂A
∂λ
: D − Tr(CEC
∗ ∂S
∂λ
)+
∂V nuc
∂λ
(3.41)
4 - Expliquer alors pourquoi le calcul de ∇ xi W est “gratuit”.
3.2.2 Discr´ etisation de la dynamique newtonienne
Nous allons voir ici un exemple de sch´ ema num´ erique mis en oeuvre pour
r´ esoudre les ´ equations de la dynamique newtonienne (3.15), et tenter de
faire sentir au lecteur pourquoi ce sch´ ema pr´ esente des propri´ et´ es sp´ ecifiques
int´ eressantes.
Que ce soit dans le cas adiabatique ou dans le cas non adiabatique, on
doit simuler la dynamique newtonienne. Nous examinons le cas adiabatique
sous la forme acad´ emique suivante (le cas non adiabatique n´ ecessite quelques
adaptations mineures).
Il s’agit de d´ eterminer l’´ evolution des positions de N particules dans IR
3 .
Les positions des N particules sont not´ ees ¯
x 1 , ¯
x 2 , ..., ¯
x N ,e ts o n td o n cd e s
variables de IR
3 .L e sN particules interagissent par un potentiel d’interaction
V (¯ x 1 , ..., ¯
x N ), ce qui veut dire que −∇ ¯
x1 V (¯ x 1 , ..., ¯
x N )d ´ esigne la force exerc´ ee
par l’ensemble des N particules sur la particule num´ ero 1. Dans le cadre
de la m´ ecanique newtonienne, les ´ equations qui r´ egissent le mouvement des
particules sont donc :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
2 ¯
x i
dt 2
= −∇ ¯
xi V (¯ x 1 , ..., ¯
x N ),
1 ≤ i ≤ N,
¯
x i (0) = ¯
x i0 ,
1 ≤ i ≤ N,
d¯ x i
dt
(0) = x
1
i0 ,
1 ≤ i ≤ N,
(3.42)
Pour simplifier l’expression de la loi de Newton, on a normalis´ e les masses des
particules.
En introduisant la notation q =(¯ x 1 , ..., ¯
x N ) ∈ IR
3N ,e t
p =(
d¯ x 1
dt
, ...,
d¯ x N
dt
) ∈ IR
3N
et la fonction H(p, q), dite Hamiltonien du syst` eme, d´ efinie par
H(p, q)=
p
2
2
+ V (q),
(3.43)
on voit facilement que le syst` eme (3.42) se r´ ecrit sous la forme