3.2 Simulation num´ erique
103
(G(D) · φ)(x):=
ρ Φ ⋆
1
|y|
(x) φ(x) −
I R 3
τ Φ (x; x
′ )
|x − y|
φ(x
′ ) dx
′ ,
en utilisant τ Φ et ρ Φ d´ efinis par (3.22) et (3.23).
En outre, il est facile de caract´ eriser l’ensemble des op´ erateurs densit´ es
d’ordre 1 issus d’un d´ eterminant de Slater d’´ energie finie : ce sont les projecteurs orthogonaux de rang N sur L
2 (IR
3 , C | )` a image dans H
1 (IR
3 , C | ). Le
probl` eme de Hartree-Fock (3.25) est donc ´ equivalent au probl` eme
inf
E
HF (D), D/ D
2 = D = D
∗ , Tr(D)=N
,
(3.32)
Les ´ equations de Hartree-Fock se r´ ecrivent alors
F(D) · ψ i = −λ i ψ i
(3.33)
o` u
F(D):=h + G(D)
(3.34)
est l’op´ erateur de Fock associ´ e` a l’op´ erateur densit´ e D =
N
i=1 (φ i , ·)φ i ,c eq u i
donne de fa¸ con plus explicite
(F(D) · φ)(x)=−
1
2
∆φ(x)+V (x)φ(x)+
ρ D ⋆
1
|y|
(x) φ(x)
−
I R 3
τ D (x; x
′ )
|x − y|
φ(x
′ ) dx
′ ,
(3.35)
en notant ρ D et τ D au lieu de ρ Φ et τ Φ .
L’espace de discr´ etisation
Pour approcher le probl` eme de minimisation de Hartree-Fock (3.25), la
m´ ethode la plus efficace consiste ` a utiliser une approximation de Galerkin.
On approche le probl` eme (3.25) par
inf
E
HF (Φ) ,Φ ∈ ˜
W N (V)
(3.36)
avec
˜
W N (V)=
Φ = {φ i } ,φ i ∈V,
I R 3
φ i φ
∗
j = δ ij 1 ≤ i, j ≤ N
,
o` u V est un sous-espace de l’espace H
1 (IR
3 , C) de dimension finie n.
Soit {χ k } 1≤k≤n une base de V et S ∈M(n, n) la matrice hermitienne des
produits scalaires
I R 3
χ
∗
i χ j . Le probl` eme de minimisation (3.36) peut s’´ ecrire
sous la forme